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l'on ne saurait concevoir une telle déconiposition en successions partielles. 

 C'est ainsi que, pour le moment, je ne saurais dire quelle est la probabilité 

 de rencontrer, dans la succession des nombres naturels, un terme écrit avec 

 un nombre impair de cbiffres. Si n parcourt la succession 1, IO 2 , IO 4 , .... , 72 n 



tend vers — ; mais on trouve une limite dix fois plus grande lorsque n parcourt 



la succession 10, IO 3 , IO 5 , Ce n'est pas tout: sr„ tend vers une infinite 



d'autres limites; mais il semble impossible d' iso ter les successions partielles 

 qui leur correspondent. 



« Pour le but que je me propose il faut savoir assigner une infinite de 

 successions de nombres finis bi , b z , b 3 , .... , tels que b n admette nécessaire- 

 ment une valeur moyenne. Cela dépend de Xexcès c n de chaque terme sur 

 la moyenne arithmétique des termes qui le précèdent. Si la valeur absolue 

 de b n ne surpasse pas «, quelque soit n, celle de c n ne stirpasse pas 2<x. 

 Or on a 



bi -fr- bj j \-b n +i ài -f h -j \- b n c n 



n -f- 1 n n~\- 1 



et l'on voit que la variation de — (b 1 -f- b 2 -f- ••• -j- b n ). lorsque n s'accroìt 



n 



2« 



d'une unite, ne surpasse pas n j^_^ en valeur absolue. S'il est impossible 



de trouver dans la succession C\ , c z , c 3 , .... plus de v termes consécutifs, 

 ayant mème signe, on a évidemment 



\ (pi -\-b,-\ h b n r) — — (bi + h H h M 



9 



av 



pour toutes les valeurs de ri et n", supérieures à n. La valeur moyenne 



de b n existe donc, non seulement dans le cas de v fini, mais encore pour - 



tendant vers zero. Bn particulier nous pouvons prendre 



b n — S2 (a n ) , c» =i2 (a„+{) — sr„ , 



et nous voyons que c, x est positif ou négatif suivant que a n +\ possedè ott non 

 la propriété £ì . La limite zs de zs n existe donc, si chaque groupe de termes 

 consécutifs de la succession a x , a% , a 3 , .... , jouissant de la propriété Sì, ne 

 renferme qu'un nombre fini de termes, ou mème un nombre de termes dont 

 le rapport au rang a de l'un d'eux tende vers zèro lorsque n croìt à l' infini. 

 Dans tous les cas, il est assuré que zs n tend à parcourir d'une manière con- 

 tinue un certain intervalle. Dans l'exemple donné plus hatit l' intervalle était 



^jij-'YY^; mais la difficulté réside toujours dans la détermination de Yim- 



