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'portarne de chaque nombre de l'intervallo. Si Fon parvenait à esprimer cette 

 importance au moycn d'une fonction f(x), la probabilité cherchée serait 



f(x)dx 



« Je vais utiliser les considérations qui précèdent pour donnei- quelques 

 éclaircissements sur la propriété des séries simplement convergentes, signalée 

 plus haut. J'ai dit que, si une certame limite zs existe, sa valeur est \. La 

 non-existence de zs entraìne-t-elle toujours la non-convergence de la serie? 

 Je vais d'abord montrer que, si les valeurs absolues des termes décroissent 



assez lentement, le nombre zs existe. En effet, si — («i-f-^2H f-£ M ) n'admet 



pas une limite pour n infini, c'est que le rapport précédemment désigné 

 v 



par — ne tend pas vers zero. Il s'ensuit que l'on peut trouver des valeurs 

 de n, aussi grandes qu'on le veut, pour lesquelles le rapport en question sur- 

 passe quelque fraction — , r étant, si l'on veut, un certain nombre entier. 

 Il en résulte n<^rv; puis, en désignant par ri le produit (r-{-l)v, 



n' U n ' 



A cause de e n+l = s n+2 = ••• — s n+ ^ la somme u n +\ -\- u n +z -J- ••• -f- u n+ v est 

 la valeur absolue de la somme de v termes consécutifs dans la serie conver- 

 gente considérée. Donc, si nu n finit par surpasser constamment quelque nom- 

 bre positif, zs esiste. 



« En résumé, s'il est possible que l'excès de la fréquence des termes 

 positifs sur celle des termes négatifs ne tende pas vers zèro, cela ne peut 

 arriver que pour les séries dont les termes décroissent assez rapidement en 

 valeur absolue. Dans tous les cas, il est certain que la valeur absolue de la 

 différence considérée ne peut finir par surpasser constamment un nombre po- 

 sitif k. En effet, si cela avait lieu pour n^> v , la somme S w des n premiere 

 termes de la serie pouvant ètre mise sous la forme 



(«i4-«*H — h f ») u n+i + (fi -f f 2 H — h **) ( u i — ' 



;=i 



on aurait 



S„ > k (Uu+i -j" H \~U n ), 



