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ce qui devient impossible pour n suffisamment grand. Par un calcul inverse 

 on trouve 



Hi ) ^' ' 



et l'on en déduit sans peine 



lim (»„ — l ) nu n = 0 . 



Cette égalité nous dit, encore une fois, que si iiu n finissait par surpasser 

 quelque nombre positif, ts n tendrait nécessairement vers \ : . Si la fonction sr n 

 ne tend pas vers j, elle oscille dans un intervalle qui contient -} comme 

 nombre intérieur ou corame extrémité. Dans le premier cas, les oscillations 

 s'effectuant de part et d'autre de -\ , on voit clairement qu'il y a, entre les 

 signes — J— et — , des alternatives de preponderane e, qui ne cessent jamais. 

 Dans le second cas, un signe tend à prévaloir; mais sa tendance ne finit 

 jamais par ètre constamment satisfaite. Dans tous les cas on peut dire que, 

 si des irrégularités se manifestent parfois dans la distribution des signes, 

 elles sont compensées par des retours continuels à la pleine régularité; car 

 on peut assigner une infinite de valeurs de n, pour lesquelles la fréquence 

 des termes négatifs, parrai les n premiers termes de la serie, s'approche 

 autant qu'on le veut de la fréquence des termes positifs. D'après cela il est 

 toujours possible de grouper les termes, sans en aiterei - l'ordre, de facon que 

 les deux fréquences dont il s'agit tendent à différer entre elles aussi peu 

 qu'on le désire, c'est-à-dire de manière à assurer, pour la nouvelle serie, 

 l'existence du nombre rx = i- Au contraire le fractionnement des termes pent 

 détruire cette existence. Ceci nous indique un moyen de construire une infi- 

 nite de séries simplement convergentes, pour lesquelles la fonction rz n oscille 

 aussi fortement qu J on le veut. Si le n ème terme de fi it x -f- s 2 u 2 -{- ? 3 u 3 -\- ■■■ 

 est decompose en p n parties, ayant mème signe, on peut toujours poser 

 n — p l -i r p 2 -\ \- <p r _ x -f 6p r , 



6 étant une fraction proprement dite, qui tend vers toutes les valeurs de 

 l'intervalle (0, 1), si p n croìt à l' infini avec n. Cela étant on a, pour la nou- 

 velle sèrie, 



i , g i ? h + ^8 Pi H H f r-l Pr-l + ° £ r Pr 



fàn — T ~T~ ^ 



et l'on voit qu'on peut régler comme on veut les oscillations de zs n autour 

 de j , en disposant convenablement de la fonction p n . En particulier, pour 

 les séries à termes alternativement positifs et négatifs, si l'on fait p n — 2'% 

 on voit que l'expression de is n tend à prendre la forme 



1 , (—l) r 1—36 



2^6' 1+6 ' 

 qui représente l' intervalle (~ > f ) . 



Bullettino-Rendiconti, 1888, Vol. IV, 2° Sem. 18 



