e 



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per cui avremo 



I ds i X \ Ql ^ Q2 ) 

 « Ed operando allo stesso modo sulle due equazioni che danno J 2 x e 

 J 2 y avremo 



d— 



4 ^_L^.' C _j_ * «! /ì .... 1 



y/.y . i a 2 



£>2 / 



(11) 



* 1 ¥j yt 



« Per le superficie d*area minima avremo dunque le equazioni 



7 1 7 1 



+.45- = °' J *'J + — +^T = 0 - 

 . ì 



e, se le coordinate u, v sulla superficie sono isometriche, le funzioni se, y, z 

 dovranno soddisfare inoltre la condizione 



«■ Analogamente a quanto ha fatto il Beltrami per le superficie di area 

 minima situate nello spazio euclideo, si potrà ora procedere così, trovare la 

 soluzione generale del sistema (11) e limitarla in modo da soddisfare alla (12); 

 se nonché adesso in generale non spariranno dalle (11) i coefficienti dell'ele- 

 mento lineare della superficie e quindi anziché trovare tutte le superficie 

 d'area minima del dato spazio, non si avrà che il gruppo di quelle applica- 

 bili sopra una data. Un esempio chiarirà meglio queste osservazioni. Suppo- 

 niamo che lo spazio dato sia quello a curvatura costante negativa che ha 

 per elemento lineare 



ds~ — y dx % -f- dy 2 -\- dz% 



se le coordinate scelte sopra la superficie d'area minima sono isometriche e 

 danno all'elemento lineare la forma 



da = ^y die 2 -f- dv 2 



le (11) diverranno 



d 2 x , d 2 x 2 / dx d£ . dx dz\ 



da 2 dv 2 z \du du ' dv dv) ' 

 d 2 y . d 2 y 2 / dy ds . dy dz\ _ 

 du 2 dv 2 2 \du du dv dv) 



d 2 z d 2 z 2r/à\»,/à\n 2i 2 n 

 ** + ^ ~ T LU ) + {Tv) J + ¥ < u = 0 



