— 37 — 



Kiassumendo, abbiamo stabilito che la funzione hi{t) della variabile t 

 e del parametro a, supposto a^O, diviene infinita logaritmicamente per 

 ^ = 0 , è diversa da zero e positiva per ogni valore finito di e si annulla 



all'infinito d' ordine oltre a ciò, in un certo intorno di a = 0, sussiste la (6). 



Ciò posto, notiamo ancora che il potenziale P delle masse inducenti è, 

 nei punti ad esse esterni, ed in particolare sopra la superficie cilindrica, una 

 funzione analitica di ^ e quindi ammette derivate di tutti gli ordini, nulle 



anch'esse all'infinito. Questo permette di eseguire in | cos nt{2 — s) P(<? , a) dz 



' — 00 



una duplice integrazione per parti rispetto a , assumendo ciascuna volta il 

 fattore trigonometrico come fattore diiferenziale ; siccome i termini ai limiti 

 svaniscono, dividendo anche per hi{t) , si ha l'identità: 



da cui agevolmente deduciamo che la funzione: 



1 



TTTT cos nt [s — s) P , a) dz 



e integrabile rispetto a il fra 0 e co . E per verità, ciò che si è visto, ri- 

 spetto alla natura della funzione ìi^{t) per valori finiti di /, stabilisce sen- 



1 f °° 



z'altro l'integrabilità di — , cos /r/ — s)Y {s , a) dz in ogni inter- 



"'\V') ^_oo 



vallo finito; la relazione identica sopra accennata permette poi di assumere 

 per limite superiore anche l'infinito. 



1 r°° 



Prendendo infatti — | cos ntiz — s) P(„'' , ci) dz sotto la forma: 



'^liO -00 



1 



7X^ hi{t) J_ 



COS 7Tt{z — s) 'P{2,a)d3, abbiamo che separatamente i due fattori 



1 r°° 1)^ Pf^ o) 

 — „ „ , , — e cos Tvt (z — s) — dz soddisfanno alle condizioni di in- 



tegrabilità, quando il limite superiore converge verso l' infinito; — ^ } 



n t ii\\t} 



3 Pf^ a) 

 in quanto ha all'infinito uno zero d'ordine — e Q,0'ìTtt{z — s)- r — dz , 



in causa del teorema di Fourier, per cui, avendosi: 



dt 



0 -00 



^ . , l>^V{s,a) , P(g , a) 

 cos7r^(,_s) dz=—^^ , 



siamo fatti certi che lim di cos ut {z — s) 



