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Yo(2d(?7r^ COS (p) — 2 log t la{2aint cos y) è funzione di t regolare per t = Q , 

 che To(2a/7r^ cos (f) — 2 log a Io{2aÌ7Ti cos ^) è funzione di a regolare per 

 a = 0 e che Yo(2fl/ tt^ cos g^) — 2 log cos lo{2aÌ7rt cos 9)) è funzione di (p , 



regolare per (p — ^ . 



Dopo ciò, si conclude senza difficoltà (I) che, per certi intorni à.\t = 0 

 e di a; = 0 , si ha : 



(5) h,{t)^ — Ana\Qgt^'Si,{t)-{-tnogtn^{t), 



(6) M!l = _ 47r log a + E3(^i)+ «2 log E4(a) , 



Ki , E2 , R3 ed R4 designando serie di potenze. 



Cerchiamo da ultimo ciò che avviene della funzione hi{i) , quando t 

 cresce indefinitamente. Osserviamo a tale scopo che l'espressione precedente 



di hi{t): hi{t) ~ òa{ ^ d(f { cos ntX di ^ tenuto conto del valore 



-^0 ^0 + COS^ y 



testé trovato per l'integrale interno, diviene: 



r^i ) 

 hi(t) — éa \ 'Ini l^{2aÌ7tt cos (p) — Yo(2«?7r/cos (p)ìd(p . 

 " 0 ' ^ 



La quantità sotto il segno, come si è già osservato, è una funzione della 

 variabile (p solo apparentemente complessa, la quale diviene infinita loga- 

 ritmicamente appena nell'estremo superiore dell'intervallo di integrazione 



^(p ■■= ; potremo dunque applicare il primo teorema della media e at- 

 tribuire ad hi{t) la forma : 



hi(t) = 2rra I ni Jq {2aint cos If ) — 'Ya{2aint cos (j>) j , 

 (p essendo un certo valore di (p , compreso fra 0 e — , gli estremi esclusi. 



Li 



Sotto questo aspetto si riconosce subito che hi{t) si annulla d'ordine 



per ^ = 00 , poiché, secondo una osservazione di Poisson, tale proprietà, al 

 crescere indefinito dell'argomento, appartiene sì alla funzione Io che alla Yo (^). 



(') Basta tener presente che la Io è una funzione pari, eguale all'unità per il valore 

 zero dell'argomento. 



(2) Per dare a questa dimostrazione uu carattere di completo rigore, avremmo do- 

 vuto mostrare altresì che il gruppo dei valori, assunti dalla funzione ^ al crescere inde- 

 finito di t, non ammette ^ come punto limite : ciò avrebbe per altro richiesto considera- 



Li 



zioui miauziose, soverchiamente discoste dallo scopo della presente Nota. 



