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Esaminiamo altresì come si comporta la funzione Ih (t) per t = 0 , il 

 che incidentalmente ci condm-rà anche a stabilire lo sviluppo di hi{i) con- 

 siderato come funzione del parametro a , quando il raggio a del cilindro sia 

 abbastanza piccolo. 



Converrà perciò assumere hi{t) sotto la forma: 



h,{t) = 2 rcosTtadl f '—=d^É^==8and(p( 



ed esprimere l'integrale interno per funzioni cilindriche, valendosi di ima 



formula di Sonine. Segue infatti dalle ricerche di queste autore (') che, per 



3 



— 1 <^ m<^2 {m + 0 H~ ^ 6 "è^^ ^ numero intero, si ha : 



Li 



dove I ed Y designano rispettivamente funzioni cilindriche di prima e di 

 seconda specie d'ordine eguale al relativo indice, II{m-\-l) è la funzione 

 fattoriale, che si può sostituire colla r(TO-f-^-|-l) {F indicando la fun- 

 zione euleriana di seconda specie) e 2.' è ] {-). Per applicare questa for- 

 mula al caso nostro, facciamovi: m = — ^ b = Ttt , x — l , h = 2aco?,(f , 



— 1/2 



0 e notiamo (3) che: l-i {ttìX)-1/X = —i/ — cos ttìX , e che: 

 n^—Yj = r^Yj=l/n. Avremo: 



rr]/ ti 



cos TTtXdX 1 i -T /o • 4 \ V /o • . \ì 



t/A^4-4«^cos> ]/2\/7c]/Tit\ ) 



ossia : 



TltXdX 1 ( -T /r^ • N /r^ • . \) 



— =^=^=:= = —-^711 \{2aiTit cos (fi) — io(2aint cos (f) \ . 

 ^0 y X'^ -\- 4:a^ Qos^ (f ^ { I 



Ora è proprietà nota della funzione cilindrica di seconda specie Tq che 

 la differenza Y^ix) — 2 log ^ ^o(^) è finita per x = 0 e sviluppabile in 

 serie di potenze di x. Xoi possiamo trarne la triplice conseguenza che 



(1) Recherches sur les fonctions cylindriques. Math. Ann., B. XVI, S. 51. 



(2) H secondo membro della formula precedente è complesso solo in apparenza, come 

 si potrebbe verificare, tenendo presenti gli sviluppi delle funzioni I ed Y. Per lo scopo 

 nostro serve però benissimo la forma sopra indicata. 



(3) Ib., S. 34. 



Rendiconti. 1896, Vol. V, 1° Sem. 5 



