— 32 - 



dove (p è una funzione data, o ciò che è lo stesso, volendo determinare l'ope- 

 razione 



(l-D)-\ 



dove D è il simbolo della derivazione, il calcolo simbolico ci dà 



(1 — D)-i = 1 + D + 4- ... 4- D" + - 



ossia, formalmente, si ottiene ip dalla serie 



00 



(5) ^ Z y'"' • 



Ma la serie (4) è di quelle che abbiamo chiamate di seconda specie: 

 infatti una funzione (p non può trovarsi nel suo campo di convergenza altro 

 che quando sia soddisfatta la condizione (necessaria ma non sufficiente) 



lim tp^"^ = 0 , 



condizione che vale solo per speciali funzioni trascendenti intere. Si tratta 

 ora di mostrare come un'opportuna modificazione dei termini della serie (5) 

 permetta di trasformarla in una serie di prima specie, e che quindi contiene 

 nel suo campo di convergenza ogni funzione regolare nell'intorno di ^ = 0. 

 7. La espressione 



co 



dove c è una costante arbitraria, soddisfa formalmente all'equazione (4) al 

 pari della serie (5). Vi soddisfarà ancora se al posto della costante c scri- 

 viamo lo sviluppo (3) che abbiamo ottenuto al § 5 e che serve a rappre- 

 sentare una costante; con che abbiamo 



00 00 



ossia 



00 



(7) S = {e-^ + Xn) 9»^"^ • 



Come si è visto al citato § 5, nel sistema dei polinomi A,„ è arbitraria 

 la scelta dei coefficienti ao , , «2 > ••• ; in particolare, possiamo porre 



ed otteniamo 



an = — n\ 



i+*-n2+-+(-i)"-f7. 



