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Due serie della forma (1) non possono essere identicamente uguali in 

 tutto il loro campo comune di convergenza, senza avere uguali i rispettivi 

 coefficienti. Ciò risulta senz'altro dall'osservazione precedente, e permette di 

 usare, per la determinazione di un'operazione funzionale sotto forma di serie (1), 

 del noto metodo di coefficienti indeterminati. 



5. Una serie (1) a coefficienti non nulli non può quindi rappresentare 



10 zero: ma può essa rappresentare una costante? La risposta a tale do- 

 manda è affermativa, e nel presente § daremo la forma piti generale di una 

 serie (1) che per ogni funzione (p(x) del suo campo funzionale rappresenta 

 una costante, variabile però passando da una (f(cc) ad un'altra. Sia infatti 



00 



(3) G{<p) = y 



una tale serie: esiste per essa (§ 2) un campo funzionale di convergenza in 

 cui può venire derivata termine a termine, ottenendosi quindi il risultato 



0 = X,'(x) (p{x) + f ( K-^ix) + ) (^) : 

 ora ciò non può essere (§ 4) altro che se sono soddisfatte le equazioni 



che danno per le A„ le determinazioni 



K = —^{an nUn-l X + (2) «„-2 X^-\ 1- ( l)*" UoX'' ) . 



In questo sistema di polinomi, formati con legge assai ovvia e ben nota, 



11 sistema dei coefficienti è arbitrario. Si può dunque, in infiniti modi, co- 

 struire una serie della forma (1) che rappresenti una costante, ed il campo 

 funzionale della serie dipenderà dalla scelta delle costanti a„. Facendo in 

 particolare a,, = 1 e tutte le altre , «2 , — uguali a zero, si ottiene la serie 



Z(- ir?T<'(^) 



che dà come valore per ogni (f{x) regolare nell' intorno ài x — 0 e 



per \x\ abbastanza piccolo; essa è dunque una serie di prima specie. 



6. Premesse queste osservazioni generali sulle serie (1), veniamo alla 

 questione che forma l'oggetto principale della presente Nota, quale è indi- 

 cato neir Introduzione. Avendosi da risolvere l'equazione lineare di primo 

 ordine 



(4) xp-^ = cf{x). 



