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Infatti, essendo 



C^(»)(^) = g,^ -j- g,^^^x -\- 



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vi 



0;-^ + - , 



si avrà 



{x)\<igne 



onde 



z 



ed essendosi fatto f <C 1 > risulta dimostrata la convergenza assoluta ed in 

 ugual grado della (1) per la funzione (2) e per tutti i valori di a; presi nel- 

 l'intorno C. 



3. Volendo ora provare l'esistenza delle due diverse specie di serie (1) 

 indicate alla fine del § 1, basterà, all'uopo, di fornire esempì delle une e delle 

 altre; ora un esempio semplicissimo della prima specie ci viene dato da 



mentre esempì non meno semplici della seconda specie sono le serie 



Considerando infatti la prima serie, si ricordi che <f{x) è regolare nel- 

 l'intorno di X = 0, ed ammette quindi uno sviluppo in serie di potenze di a; 

 convergente in un cerchio di centro x = 0 e di raggio r; ora per |,»| <^ -^-r 

 la serie stessa è certamente convergente assolutamente ed in ugual grado. Il 

 suo campo funzionale di convergenza è dunque costituito da tutte le funzioni 

 regolari per a; =■ 0. Invece la seconda serie non è convergente in ugual grado 

 se non per le funzioni (f(x) in cui il raggio del cerchio di convergenza re- 

 lativa ad £0 = 0 è maggiore dell' unità, e la terza lo è solo per speciali 

 funzioni trascendenti intere: esse sono quindi della seconda specie. 



4. Le funzioni razionali intere appartengono al campo funzionale di con- 

 vergenza di ogni serie (1), poiché per esse lo sviluppo (1) si riduce ad un 

 numero finito di termini. Questa osservazione permette di togliere ogni resti- 

 tuzione al teorema del § 2, e di dire che una serie (1) ha sempre un campo 

 di convergenza. 



Una serie (1) si dirà identicamente nulla quando sia nulla per ogni 

 funzione del suo campo funzionale. Ora ciò non può avvenire altro che se 

 tutti i coefficienti cc,i{x) della serie sono identicamente nulli: basta infatti 

 porre successivamente ^ = 1 , == ^, ... ^ = , ... e si ottiene di mano in 

 mano = 0 , «1 = 0,... == 0. 



w=0 n • »=0 



