— 29 — 



(f{a;) una funzione analitica della stessa variabile, che si può assumere arbi- 

 trariamente sotto la sola condizione di essere pure regolare nell'intorno del 



medesimo punto ^ = 0, e con si indica la y-^ . In luogo di consi- 



derare (p(a;) ed «„(.r) regolari nell'intorno del punto x 0, si potrebbero 

 supporre tali per l'intorno di un altro punto arbitrario Xa del piano della va- 

 riabile : noi continueremo però a fare Xo = 0. 



Quando una funzione (f(x), sostituita nello sviluppo (1), rende questo 

 sviluppo convergente in ugual grado in un intorno di ^ = 0, diremo che (p{x) 

 apjìartiene al campo funzionale di convergenza della serie (1). Per ogni 

 funzione (fix) appartenente al suo campo di convergenza, la serie (1) rap- 

 presenta una funzione analitica regolare in un intorno di ^ = 0 ; essa serie 

 può quindi riguardarsi come l'espressione di un'operazione funzionale eseguita 

 su (f{x). Di più, se (f{x), Mj{x) appartengono al campo di convergenza 

 della (1), vi appartiene anche la (f{x) -f- */'(^), e l'operazione rappresentata 

 dalla (1) è distributiva. 



Ora dimostreremo, nei due paragrafi che seguono: 



a) che una serie (1) ammette in generale un campo funzionale di con- 

 vergenza ; 



b) che le serie della forma (2) possono essere di due nature diverse; 

 quelle di prima specie, al cui campo di convergenza appartiene ogni ip{x) 

 regolare nell'intorno di ,2; = 0, quelle di seconda specie, al cui campo di con- 

 vergenza appartengono quelle sole <f>{x) che soddisfano a determinate con- 

 dizioni. 



2. Una serie (1) ammette sempre un campo funzionale di convergenza, 

 purché esista un intorno del punto ^ = 0 in cui tutti i coefficienti della serie 

 rimangono finiti. 



Si indichi con C quell'intorno di x = ^ in cui tutte le «n(^) riman- 

 gono finite, e sia m„ il limite superiore dei valori assoluti di ccn{x) in C. 

 Si formi poi una successione di numeri positivi gn arbitrari purché soggetti 

 alle condizioni 



gn<9n-, , 9n<—, 



essendo f un numero positivo minore dell'unità, infine si prenda x in 0. Sotto 

 queste condizioni dico che la funzione 



(2) y(^) = >. 9n -j 



71=0 • 



appartiene al campo di convergenza della (1): ne verrà che con essa vi ap- 

 partengono tutte le serie di potenze in cui il coefiìciente di x'"- è minore in 



valore assoluto di . 



ni 



