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espressione opportuna, come hanno fatto i nominati autori, si riesce a sosti- 

 tuire ad (a) e a (b) altre espressioni che (pur godendo delle stesse proprietà 

 formali in modo da soddisfare, come quelle, alle condizioni dei rispettivi pro- 

 blemi) hanno incondizionata convergenza e rappresentano effettivamente le 

 funzioni domandate. 



Ora esistono, in parti assai diverse dell'analisi, certi sviluppi i quali si 

 presentano in una forma sotto cui hanno un campo di validità assai limitato, 

 ma ai quali è applicabile una modificazione del tutto analoga a quella ricordata 

 e che permette di renderli effettivamente validi per quei casi in cui, nella pri- 

 mitiva forma, la loro esistenza è puramente virtuale. Questo fatto mi è sem- 

 brato assai degno di nota, e per porlo in evidenza nel modo più semplice 

 possibile, mi sono limitato nella presente Nota a considerare un esempio par- 

 ticolare, riserbando ad altro lavoro la trattazione del metodo nella sua gene- 

 ralità. L'esempio sarà fornito dalla serie 



(0) 



in cui (f è una funzione analitica della x. Formalmente, lo sviluppo [e) sod- 

 disfa all'equazione 



df_ 



dx 



{d) 



f- 



ma la serie (e) non è convergente se non eccezionalmente, cioè per funzioni 

 soggette a condizioni assai restrittive, talché alla (e), come formula per la 

 risoluzione dell'equazione (d), non si può dare che un valore assai limitato. 

 Però, mediante una modificazione opportuna dei termini della (e), la quale non 

 altera la proprietà formale in forza della quale essa soddisfa all'equazione (d), 

 si può renderla convergente per ogni funzione analitica (p regolare in un in- 

 torno (sia pure piccolo quanto si vuole) del punto x ~ 0. Questo metodo, 

 come ho accennato, è applicabile a sviluppi assai più generali di (e); ma 

 anche limitato a questo caso, spero che non riuscirà privo d'interesse per la 

 novità dell'argomento e per le osservazioni generali che è d'uopo premettere 

 sulle serie ordinate secondo le derivate successive di una funzione. 



1. Considereremo, in ciò che segue, le serie della forma 

 (1) Z a4x)cp'^'ix) , 



dove con a„(^) (;^ = 0 , 1 , 2 , ...) si rappresenta una successione data di fun- 

 zioni analitiche della variabile x regolari in un intorno del punto x ^ 0, con 



