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Geodesia. — Sopra un punto della teoria di Laplace relativa 

 alla figura di equilibrio di una massa fluida rotante. Nota di 

 Paolo Pizzetti, presentata dal Socio Beltrami, 



1. Consideriamo una massa animata da un moto di rotazione uniforme 

 attorno ad un asse, e terminata da una superfìcie poco diversa da una 

 sfera. Laplace ha dimostrato {Méc. cél., livre IIP) che la superficie este- 

 riore di una tal massa, supposta in equilibrio relativo deve, in un determi- 

 nato ordine di approssimazione, essere quella di im ellissoide di rotazione 

 in uno di questi casi: 



1° che la massa sia omogenea, e sia o tutta fluida o fluida soltanto 

 in superfìcie , 



2" che la massa sia fluida e non omogenea, in guisa che la densità 

 diminuisca in modo continuo dal centro alla superfìcie e che le superficie 

 di egual densità siano poco diverse da sfere concentriche. 



Nei calcoli di Laplace, vengono considerati come termini piccoli quelli 

 che contengono a fattori gli scostamenti fra la superficie e la sfera, ovvero 

 il quadrato della velocità angolare, e sono trascurati, rispetto a questi, i 

 termini piccoli del 2° ordine almeno. 



Pel 1° caso, ossia per la massa omogenea, si hanno, oltre le due di- 

 mostrazioni di Laplace, una dimostrazione di Liouville e un'altra di Poisson, 

 le quali nulla lasciano a desiderare. Ma pel 2° caso, ossia per la massa 

 fluida eterogenea, l'unica dimostrazione data da Laplace si fonda sull'uso 

 delle funzioni sferiche ed è soggetta alia seguente gravissima obbiezione: 

 la funzione potenziale dell'attrazione esercitata dalla massa sopra un punto 

 interno M viene espressa da Laplace come somma di due sviluppi per fun- 

 zioni sferiche ; uno di questi procede secondo le potenze negative del raggio 

 vettore r di M e serve ad esprimere la f. p. di quella porzione di massa, 

 che è interna alla superficie S di equilibrio passante per M ; l'altro sviluppo, 

 procedente secondo le potenze positive di r , esprime la f. p. della restante 

 porzione della massa. Affinchè il primo di questi sviluppi fosse legittimo, 

 sarebbe evidentemente necessario che r fosse non minore dei raggi vettori 

 dei vari punti della S; e non maggiore di tali raggi vettori dovrebbe es- 

 sere r perchè fosse legittimo l'uso del secondo sviluppo. Queste condizioni 

 non sono evidentemente verificate Q). 



(1) Obbiezioni di tal sorta agli sviluppi di Laplace si trovano p. es. in Helmert, 

 Hòhere Geodàsie, Bd. 2, s. 135, e in Tisserand, Mécanique celeste, t". p. 317. 



Rendiconti. 1896, Vol. V, 1° Sem. 15 



