— 110 — 



Siccome, per quanto sappiamo, nessun'altra dimostrazione è stata sosti- 

 tuita a quella di Laplace, così è interessante, e ci proponiamo di farlo qui, 

 di tentare una parziale modificazione dei calcoli di Laplace, in guisa da 

 evitare la ora detta obbiezione. 



1. Indichiamo con r il raggio vettore di un punto qualsiasi M rispetto ad 

 una origine collocata sull'asse t di rotazione, [i sia il coseno dell'angolo che r 

 fa coir asse stesso, i// 1" angolo che il piano rt fa con un piano fisso passante 

 per t. Sia poi V la funzione potenziale dell' attrazione di tutta la massa 

 sul punto M, w la velocità angolare, e si indichi con W il valore che as- 

 sume nel punto M la somma 



(1) /T + y^Hl-^t^r^ 



Le superficie d'equilibrio saranno rappresentate dall'equazione 



W = costante 



e la densità q dovrà, per l'equilibrio della massa fluida, essere funzione di W 

 soltanto. Assumiamo come variabile ausiliaria la quantità a funzione della 

 sola W e legata a questa dall'equazione 



(2) =^^{''^.0} .da-\-inf^\.a.cla 



dove A è tale che per a = A , "W assume quello speciale valore che le com- 

 pete alla superfìcie esterna del fluido. Pei punti esterni alla massa, ossia 

 per « > A , si ha q = 0 e alla (2) deve sostituirsi la seguente : 



{2!) ^ ^~~^J ^^^^^ • 



È facile vedere che tanto a quanto la sua derivata prima rispetto a W , 

 variano in modo continuo con W. 



Se la velocità di rotazione fosse nulla, se le superficie di egual den- 

 sità fossero sfere concentriche, e se fosse A il raggio della sfera limite, la 

 formola (2) darebbe il valore della funzione (1) per ogni punto distante di a 

 dall'origine. È quindi naturale, nel caso nostro, di esprimere il raggio vet- 

 tore r di un punto M , nel quale la espressione (1) assume il valore W , 

 colla formola 



(3) r = a{l-\-as) 



dove s è funzione finita di a , , ed a è una costante piccolissima, della 

 quale trascureremo le potenze superiori alla prima. 



Deriviamo parzialmente i due membri della (3) rispetto ad r, esser- 



