Nell'ordine di approssimazione qui tenuto, il prodotto co^a è trascura- 

 bile, quindi la (11) può scriversi, con ovvie semplificazioni 



(12) ~- (a"^3 y^^) da — a^['(n-i-l)Yn — a ^"1 U = 0 . 



Da questa derivando rispetto ad a e dividendo per a"'^'- TI, 

 D'Y„ , 2ga/^, , ^, ^ Y,,\ n(n ^l) ^ 



«2 



È questa l'equazione differenziale alla quale Laplace è pervenuto {Méc. cél. 

 livre IIP, u. 29) partendo dai ricordati sviluppi, per funzioni sferiche, della 

 funzione potenziale dell'attrazione sopra un punto interno alla massa. 



Moltiplicando la (12) per a-^"-* ed eseguendo la integrazione rispetto 

 ad fi; , si può dare all'integrale questa forma 



(14) £q ~ (a2-« Y„) . da + (2n + 1) a-"-' ¥„ U — 



— a-'"-' [% — (a"^^ YJ .da = c 



dove c deve riguardarsi come funzione di n e ip. Indicando con A„ un'altra 

 funzione dì fi e xp, si potrà anclie porre la (14) sotto la forma 



(15) ~ (a'-" Yn) . da — {2n + 1) Y„ U + 



+ a-'"-' f% — (a"+3 Y„) da = A, 



•J 0 



Resta ora a determinare la A„. 



4. Consideriamo, a tale scopo, un punto M esteriore alla massa e tale 

 che la sua distanza r dall'origine sia maggiore del massimo raggio vettore 

 della superfìcie esterna della massa stessa. Per un tal punto sarà lecito 

 esprimere la funzione potenziale V dell'attrazione collo sviluppo di Laplace 

 procedente secondo le potenze negative di r. In tal modo si ottiene noto- 

 riamente : 



(16) V = — + 4yr«y — — -— ^ q ^ (a'^^'Y . da 



dove M è la massa totale. Quando ad r si sostituisca la sua espressione (10), 

 la somma 



/V+-f co«r^(l — Iti') 



