deve risultare funzione della sola a . Vale a dire che nel solito ordine di 

 approssimazione dev'essere 



(17) — (1 — «To — «Yi — •••)— 



Osservando che, nei termini moltiplicati per a si può sostituire al posto 

 di M il prodotto 



Air I QO^ da = 47r Ui 



ed eguagliando a zero, nella (17), le somme di funzioni sferiche di egual 

 grado si ha, per e differente da 2 , 



(18) D.Y„-^J^,f^(«-T.)& = 0. 



e per n = 2: 



(19) 



- 5^1^^ Va - sk (i - 



Queste relazioni ci dànno modo di determinare A„ nel 2 membro delle 

 (15). Se infatti le (15) si applicano al punto M esterno ora considerato, os- 

 servando che per a ^ A si ha q = 0 , e TJ = Ui , si ottiene 



— i2n + 1) a-"-' Y„ Uj + a-'''-' ^ (a"+^ Y„) .da = kn. 



J a da 



Paragonando questa colle (18) (19) si vede che per n^O e diverso da 2 

 si ha A„ = 0, e per = 2 , A2 = — g^(^y — • 

 Sicché finalmente la (15) si scinde nelle due seguenti: 



w iy^''--ì'''''+ hi} i = tf - t) • 



(21) ^ {a^-''Y„)da — {2n-\- l)a-''-' YJJ + a-"^' f% ~ (a"^^ Yn)da^O 

 •J a oa •J 0 da 



per ?2 0 e diverso da 2. 



Queste equazioni, nella teoria di Laplace, direttamente si deducono dagli 

 sviluppi esprimenti la f. p. dell' attrazione per un punto qualunque in- 

 terno alla massa. Da esse si parte per dimostrare che, per n maggiore di 

 zero e differente da 2, dev'essere Y„ — 0 , e che Y2 deve essere della forma 



dove h è funzione di a soltanto; il che dimostra, nel nostro 



