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ordine di approssimazione, che le superficie di equilibrio sono ellissoidi di 

 rivoluzione aventi per asse l'asse t di rotazione. Le dette equazioni, essendo 

 ora dedotte, in modo non soggetto alle obbiezioni mosse al metodo di Laplace, 

 rimandiamo il lettore, per il seguito della dimostrazione, o al libro III già 

 citato della Méc. cél., ovvero alla esposizione che della teoria di Laplace ha 

 dato il sig. Tisserand nel cap. XVIII del II voi. del suo Traile de Méca- 

 nique celeste. Le nostre equazioni (12) (13) (20) (21) corrispondono rispet- 

 tivamente alle (49) (D) (B) (A) di Tisserand. 



5. Aggiungeremo che all'equazione differenziale (13) si può direttamente 

 pervenire in un altro modo abbastanza semplice. Nella formola 



(22) W== — 47r/ì.-j-2a)2 



pongasi per z/j W la sua espressione in coordinate polari 



roo^ ^ , 2VW j_j^r ^wn 1 



^ ^ Dr^ ~^ r Dr ~^ Dfxl} ^ ^ D/* J r^(l — -Di/^^ " 



• In modo analogo a quello tenuto per dedurre la formola (5), si calco- 

 lino, derivando successivamente la (3), le espressioni di — - , , , 



~ÒT "Ì),U 



e si sostituiscano nella (23). La (22) diverrà così, trascurando sempre 

 le quantità dell'ordine di a^, eseguendo alcune riduzioni e dividendo per /, 



= 2,»(. + 4^) + ^U 



2 



2f \ '^aj CL l)a 

 2ina „ 1)S_ . 1 — lU'^ „ 1)^S . 1 D^S 



Sostituendo ora ad s il suo sviluppo ^Y„, ricordando che una funzione 

 sferica dell'ordine n soddisfa all'equazione 



= 0, 



ed eguagliando a zero la somma delle funzioni sferiche di egual grado, si 

 ricade nella (13), per > 0 . 



6. La nostra deduzione della formola (12) suppone in realtà che non 

 solo siano piccolissimi gli scostamenti lineari fra le superfìcie S di equilibrio 

 e le sfere di un sistema concentrico, ma che anche gli angoli (nr) fra le 

 normali ed i raggi vettori siano quantità piccole i cui quadrati si possano 

 trascurare. Ciò equivale a supporre che oltreché la funzione as , anche le 



sue derivate a — , « — assumano ovunque valori tanto piccoli, da poter- 

 sene trascurare i quadrati. 



