— 134 — 



tano di essere osservati. Qui mi limiterò a dare gli enunciati dei teoremi 

 fondamentali, riserbando ad altro luogo le dimostrazioni e gli sviluppi. 



1. 



Indicherò in questa Nota, per brevità, col nome di superficie 2 ogni 

 superficie della classe (1). E innanzi tutto osserverò che limitandosi, come 

 sembra opportuno in queste ricerche, a superficie reali, le superficie 2 non 

 vengono già a collegarsi, secondo il metodo di Weingarten, colle superficie 

 applicabili sulla sfera, sibbene con quelle applicabili sulla pseudosfera, ossia 

 colle pseudosferiche ('). 



Il modo di derivazione delle superficie 2 dalle pseudosferiche è il se- 

 guente. Presa una superficie pseudosferica S qualunque, si tracci sopra di essa 

 un sistema di geodetiche parallele /S = cos'® (uscenti da un punto all'infinito 

 della superficie) e le loro traiettorie ortogonali a = cos*® (oricicli). Assumendo 

 convenientemente i parametri a , /? , il quadrato dell' elemento lineare di S 

 prenderà la nota forma parabolica 



(2) ds^ = da^ + e-^^'d/i^ . 



Indicando con f , , f le coordinate di un punto mobile sopra S, pongasi 



<«) -<i+^f;) 



e saranno x , y , s le coordinate di un punto mobile sopra una superficie 2 

 della classe (1). Viceversa ogni superficie 2 si ottiene da una conveniente 

 pseudosferica S, su cui sia tracciato un determinato sistema di geodetiche 

 parallele colle formole (3). Ma si noti che per tal modo dalla superficie S 

 si deduce non una sola JS, ma un'intera serie di tali m^Q'cfiQiQ 2 parallele, 

 giacché mutando /? in /? -]- cost'% la (2) non si altera, mentre la superficie (3) 

 si cangia in una parallela. È evidente del resto, per la definizione geometrica 

 delle superficie 2, che ogni superficie parallela ad una 2 è nuovamente una 2. 

 Ciò significa che l'equazione a derivate parziali (1) è ^>^mn'^^?^te rispetto alle 

 trasformazioni parallele. 



2. 



Formando l'equazione differenziale delle linee di curvatura della super- 

 ficie 2 data dalle (3), si trova l'importante risultato : Sopra la superficie 2 



(1) E invero nelle formole corrispondenti (1. e, pag. 322) il Darboux pone qD= ^p'^—2q\ 

 ma poiché per ogni superficie reale S h <i 2q, così (p è puramente immaginaria e le 

 superficie corrispondenti hanno puramente immaginarie le coordinate dei l oro punti cor- 

 rispondenti a valori reali àìp ,q, talché dividendo queste coordinate per ]/ — 1 si ottengono in 

 effetto superficie reali a curvatura costante negativa (pseudosferiche). Se così non fosse, 

 sarebbe trovato ciò che fino ad ora é stato da più parti inutilmente cercato cioè un me- 

 todo efficace di trasformazione per le superficie a curvatura costante positiva ! 



