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le linee di curvatura corrispondono alle linee di curvatura della siq^er- 

 ficie pseudosferica S, da cui deriva secondo le formale (3). 



Ora alle geodetiche — cost*'' di S si tirino le tangenti ; la congruenza così 

 formata ha per prima falda della superficie focale la S e per seconda falda 

 una nuova superficie pseudosferica S' complementare della S. D'altronde si 

 vede subito che la corrispondenza di punto a punto della 2 e della S' è tale 

 che le normali in due punti corrispondenti sono parallele, e poiché alle linee 

 di curvatura di S corrispondono, come è noto, quelle di S', ne deduciamo il 

 teorema : 



A) Ogni superficie 2 ha la stessa immagine sferica delle linee di cur- 

 vatura di una superficie pseudosferica ('). 



Questa proprietà fondamentale spiega appunto il perchè la teoria delle 

 superficie 2 viene necessariamente a collegarsi con quella delle superficie 

 pseudosferiche. 



Di più si osservi che presa una qualunque superficie pseudosferica S', vi 

 sono 00^ sistemi di superficie 2 parallele aventi a comune con S' l'imma- 

 gine sferica delle linee di curvatura, e ciò prescindendo da un' omotetia col 

 centro in 0, che cangia manifestamente una superficie 2 in un'altra. 



3. 



Ho dimostrato nel mio libro {-) che la congruenza delle normali ad ogni 

 superficie, avente la medesima immagine sferica delle linee di curvatura di 

 una superficie pseudosferica, è una congruenza ciclica (1. e, pag. 333), che 

 cioè esiste uno ed un solo sistema oo- normale {^) di cii'coli, aventi per assi 

 le dette normali. Ne segue che le normali ad una superficie ^ costitui- 

 scono appunto una congruenza ciclica. Come si caratterizzano i circoli C del 

 sistema normale corrispondente? Il risultato è estremamente semplice, poiché 

 si trova che questi circoli C vanno tutti a passare pel punto fisso 0. Inoltre, 

 e questa è la proprietà più notevole, le oo^ superficie ortogonali ai circoli C 

 sono nuovamente superficie 2 rispetto al medesimo punto fisso 0. Si ha dunque 

 la costruzione seguente: 



B) Presa una qualsiasi superficie 2 della classe (1), dal p>unto fisso 0 

 si conduca ad ogni sua normale m la perpendicolare OP e, fatto centro 

 nel piede P di questa^ si descriva, nel piano normale a m, il circolo che 

 passa per 0. // sistema oo^ di circoli C così costruiti ammette una 



(') Anche il Weingarten era pervenuto dal canto suo a questo teorema, come ho sa- 

 puto dopo avergli comunicati i risultati da me ottenuti. 



(2) Lezioni di geometria differenziale. Pisa, SpSrri, 1894. 



(3) Un sistema oo'^ di circoli dicesi normale se ammette una serie di superficie or- 

 togonali. 



