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serie oo^ di super /icie ortogonali 2' , che apiMrtengono nuovamente alla 

 classe (1). 



Così da una superficie 2 si ottengono oo' nuove superficie della mede- 

 sima classe e ciò con operazioni che richieggono manifestamente una sola 

 quadratura. 



Si osservi poi che mentre la superficie .1 ha a comune con una super- 

 ficie pseudosferica S la immagine sferica delle linee di curvatura, le super- 

 ficie 2', derivate da 2 colla costruzione B), hanno a loro volta le stesse im- 

 magini delle linee di curvatura delle oo' superficie pseudosferiche S' com- 

 plementari di S. Si può dunque dire: 



C) La trasformazione delle super fide 2 , fornita dalla costruzione 

 corrisponde precisamente alla trasformazione complementare delle super- 

 ficie pseiidosferiche. 



Le considerazioni superiori conducono altresì al teorema: 



D) Se pel punto fisso 0 si conducono i circoli normali ad una su- 

 perficie 2, tutte le 00^ superficie ortogonali ai circoli appartengono alla 

 classe (1). 



4. 



L' ultima costruzione D) deriva facilmente dal seguente teorema di Wein- 

 garten {}): 



Un inversione per raggi vettori reciproci rispetto ad ogni sfera col 

 centro in 0 cangia una superficie 2 in un'altra della medesima classe. 



In altre parole l' equazione fondamentale (1) è invariante non solo ri- 

 spetto alle trasformazioni parallele, ma anche rispetto alle inversioni. 



Ora è chiaro che invertendo il nostro sistema ciclico {2') del teorema B) 

 per raggi vettori reciproci si ottiene una serie di superficie 2 parallele ; così 

 la costruzione (D) risulta d' immediata evidenza. 



A quale trasformazione delle superficie pseudosferiche corrisponde l'in- 

 versione delle 2? Facilmente si dimostra che: 



Un inversione per raggi vettori reciproci delle superficie 2 corrisponde 

 ad una trasformazione delle superficie pseudosferiche composta di due suc- 

 cessive trasformazioni complementari. 



Così per le superficie 2 la trasformazione elementare rimane quella de- 

 finita dalla costruzione B); due tali successive trasformazioni B) si combi- 

 nano in un' inversione per raggi vettori reciproci. 



Combinando le costruzioni geometriche sopra indicate se ne possono ot- 

 tenere delle nuove. Osserveremo ancora la seguente: 



E) Ad ogni normale m di una super fide 2 si cali dal punto fisso Ola 

 perpendicolare OP sulla quale si assuma un punto P' tale che OP.OP'=cost*®, 



(1) Esso mi fu comunicato dall'autore in occasione della citata corrispondenza. 



