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Moltiplichiamo ambo i membri di questa equazione per So {y , s) dy e inte- 

 griamo fra a e ^ ; si otterrà 



) \jfiy) — fiyJ] So(?/ , dy = I So(2/ , s) dy ] \{a;) V,{.x , y) dx 



e pel principio di Dirichlet, ed il precedente teorema, 



( \jf{y) — f{y)']^Ay.^)dy=\ (f{x)dx\ So(y ,s)¥o(x ,y)dy 



J a. 



quindi 



f f{y)^o{y ,s)dy = \^(f{x)^,{x ,2)dx=(f{s) — f{s). 



<J a. «Va 



Dunque la formula 

 (5) ^(^) ['f{y)%,{y,z)dy 



si può invertire e si ha l'altra 



(5') f{3) = cp(3) — f\(x) ¥,{x ,s)dx. 



Prendendo arbitrariamente una delle due funzioni finite e continue S^{y ,g) 

 0 Fo{x,2) si può calcolare l'altra mediante le formule (4) e (4') date pre- 

 cedentemente. Quindi , scelta ad arbitrio una delle due funzioni finite 

 e continue (p{2) o f{s), si ottiene 1' altra funzione mediante una delle due 

 formule (5) e (5'), e si vede che non vi è che la funzione f{s) data dalla (5') 

 che verifica la relazione funzionale (5) e reciprocamente non vi è che la (p{s) 

 data dalla (5) che soddisfa la (5'). 



Del resto è facile riconoscere che la operazione di passaggio dalla prima 

 alla seconda formula è la stessa che quella di inversione della seconda nella 

 prima. Si denoti infatti la — 'F^{x,y) con a> , cioè scriviamo (^) 



^L8oix,y)l = — ^o{x,y); 



allora tenendo conto delle operazioni di quadratura con cui partendo dalla Fq 

 si calcola la So , si avrà 



a>[— F,(x,y)'] = S,(x,y). 



(1) È superfluo l'osservare che non deve confondersi la *[So(a; , y)2 con una funzione 

 di funzione (Vedi: Sopra le funzioni che dipendono da altre funzioni, nel voi. Ili di 

 questi Eendiconti). 



