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Possiamo dunque riassumere i resultati trovati nel seguente teorema 

 Posto 



co 



m CUI 



si ha : 



1°) se S>{w,y) è una funzione finita e continua per i valori delle 

 variabili compresi fra a e , anche [S , yj] è una funzione finita 

 e continua entro gli stessi limiti; 



2°) la funzione O gode della proprietà 



a>[0lS{x,y)f\ = S(x,y); 

 3°) se (p(x) è una funzione finita e continua e 



(A) ^{y) = f{y)-\. rf{x)S{x,y)dx {§>y>c^) 



^ a, 



resulta . 



(A') fi^y) = ^(y)^ r<fix)^lS(x,y)-]dx. 



Nelle formule (A) e (A') si ha x <Cy -, quindi sarà sufficiente deter- 

 minare <P[S(^,|/)] per valori di x<iy, e perciò conoscere la funzione 

 S{x ,y) solo corrispondentemente ai valori di x,y compresi fra a e /5 tali 

 che x<iy , onde basterà assicurarsi che S{x ,y) sia continua ed i suoi va- 

 lori assoluti abbiano un limite superiore finito, per tutti i valori ài x ^y che 

 soddisfano le condizioni 



^>y>x>cc. 



4. I vari problemi che si presentano di inversione di integrali definiti 

 con limiti variabili, possono in generale risolversi facilmente ricorrendo alle 

 formule ora stabilite. Esaminiamo infatti il problema di invertire l'integrale 



(6) e{y) — e{a) = rxp{x)-K{x,y)dx , 



cioè determinare ip{x) conoscendo B{y) e H(a?,?/). Derivando si avrà 



B'{y)=xp{y)^{y ,y)^£xp{x)^^^^dx 

 e dividendo per H (z/ , ?/) 



H 



