— 189 — 



cosiddetta regola di Laplace. Però la dimostrazione che 1' autore dà di quel 

 teorema lascia qualche cosa a desiderare dal punto di vista della semplicità 

 e della eleganza. 



Onde credo conveniente riprendere la qiiistione da un punto di vista che 

 mi permetterà di dimostrare semplicemente il teorema in tutta la sua gene- 

 ralità, e che contemporaneamente mi potrà dare anche un altro teorema assai 

 affine a quello, e che con quello si confonde solo in uno specialissimo caso. 



§ 1- 



Sia dato un determinante D di ordine n-{-m, e sopprimiamo le prime n 

 linee e colonne ; resta un determinante M di ordine m che noi svilupperemo 

 colla formola di Laplace, cioè facendo la somma algebrica con segni oppor- 

 tuni dei prodotti dei minori contenuti in mi linee per i minori contenuti in 

 altre linee, ecc., per i minori contenuti in mu linee, dove 



Mi Mi -{-•••-{- Mu — m 



e due fattori di uno stesso prodotto sono sempre minori contenuti fra colonne 

 tutte diverse. 



In questo sommatorio. in luogo di ciascun fattore di ciascun termine 

 poniamo quel minore, di tutto il determinante D, che si ottiene sopjìrimendo 

 in D solo le medesime colonne e linee che bisognava sopprimere nel deter- 

 minante M di ordine m per ottenere quel fattore. Il valore del sommatorio 

 diventa allora il prodotto di D per la potenza [k — 1)™" del minore com- 

 plementare di M , che chiameremo N , cioè del determinante racchiuso dalle n 

 linee e colonne soppresse. 



Ecco una semplicissima dimostrazione del teorema. 



Formiamo il reciproco di D e sia D' = D""^™-' ; gli omologhi di N e M 

 in D' sieno N', M'. 



Sia 



un termine del sommatorio, dove J^^ è di ordine n -f- m-i. 

 Moltiplichiamo questo termine per 



e osserviamo che per i notissimi teoremi sui reciproci, il prodotto 



è un minore di M' di ordine m — mi , e propriamente quel minore di M' il 

 cui omologo in M ha per complemento in M quel minore che si ottiene 

 da Jm. sopprimendovi le n colonne e linee. Si riconosce così che, dopo ef- 



