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fettuato il prodotto indicato, il sommatorio diventa ciò che si otterrebbe se 

 si sviluppasse il determinante M' colla regola di Laplace, e indi in luogo di 

 ogni minore di ordine m%. . . si sostituisce il proprio complemento di 

 ordine m — Wi , w — wti, . . . 



È facile mostrare che così operando si ottiene allora il determinante su 

 cui si opera elevato alla potenza k — 1 ('); dunque possiamo dire che il som- 

 matorio primitivo moltiplicato per 



è eguale a 

 donde infine 



§ 2. 



. Accanto al teorema di Netto dimostrato nel § precedente, cogli stessi 

 principii ne possiamo trovare un altro. 



Come nel § precedente formiamo secondo la regola di Laplace lo svi- 

 luppo di M, cioè del determinante ottenuto da un dato D di ordine n -^-m 

 sopprimendo n linee ed n colonne. Indi ad ogni minore di M che comparisce 

 nella formola sostituiamo il proprio complemento, e infine ognuno dei minori 

 così formati rendiamolo di ordine n -\- {m — ini) aggiungendo le n linee e 

 n colonne soppresse in D. 



Quale sarà allora il valore del sommatorio? 



Moltiplichiamo ciascun termine per 



e osserviamo che allora ogni termine diventa il prodotto di k minori di M', 

 uno di ordine nix , uno di ordine , e infine l' ultimo di ordine mu ; il som- 



(') È facile dimostrare questo risultato. Sia dato un determinante A di ordine m. 

 Formando i minori come occorre per applicare la regola di Laplace si ha 



Di Ogni /Jm., formiamo il suo complemento e vogliamo trovare il valore del 



sommatorio 



Di A formiamo il reciproco e sia A' e sviluppiamo A' secondo prodotti di minori omologhi 

 ai Jm^ ■ ■ ■ ^mj^- Si ha ' '1 



"N — J . * . d A = A"^ 



E potendosi ogni /I' esprimere mediante i Jm~m^ e potenze di A, si ha infine il risultato 

 annunciato nel testo. 



