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Allorché è data una superfìcie F„ d' ordine e se ne considera la se- 

 zione con una generica superficie aggiunta cpn-i d' ordine n — 4 , si deve an- 

 zitutto ritrarne la curva multipla stessa contata opportunamente secondo ri- 

 sulta dal modo di comportarsi in essa di una superficie aggiunta (dunque 

 i {i — 1) volte se si tratta di una curva ipla ordinaria): la parte residua 

 contiene sempre come parti fisse quelle, eventuali, curve ( eccezionali ) che 

 con una trasformazione della superficie possono esser mutate in un punto sem- 

 plice ; ma di queste curve eccezionali si distinguono due specie, secondochè il 

 punto che viene a corrispondere ad una di esse sopra una opportuna trasfor- 

 mata P'„' d' ordine , non appartiene o invece appartiene a tutte le super- 

 ficie (fn'-4: d'ordine n' — 4 aggiunte a F',/ : ora le curve eccezionali della 

 P specie debbono ancora essere ritratte dalla sezione di F,j colle (fn-i ; le in- 

 tersezioni residue costituiscono propriamente le curve canoniche di F„ . Dunque 

 nelle curve canoniche di F„ verrebbero incluse le eventuali curve eccezionali 

 della 2"- specie , la presenza delle quali costituisce perciò un caso di riduci- 

 bilità del sistema canonico di F„. Siccome poi si tratta di questioni inva- 

 riantive ammettendo la irriducibilità del sistema canonico, deve anche esclu- 

 dersi la presenza di qualche punto di F„ (comune a tutte le (fn-i) che in 

 una trasformazione di F„ possa dar luogo a curve eccezionali di 2^ specie: 

 in altre parole il sistema canonico su F„ non deve avere punti base (chè 

 r intorno d' un punto base costituirebbe una componente fissa del sistema 

 stesso). Per queste superficie a sistema canonico irriducibile (che debbono ri- 

 guardarsi costituenti il caso generale) si ha che il numero delle intersezioni 

 variabili di due curve canoniche (di genere 7/") è 



(Noether, 1. e). 



Ciò premesso (a scanso di equivoci) si ha il resultato seguente: 

 Le superficie algebriche di cui le curve canoniche sono irriduci- 

 bili iper ellittiche 



(7;>2, /^'>1) 



a.) posseggono un fascio razionale di curve di genere due, oppure 

 sono rappresentabili ; 



b) sul piano doppio con curva di diramazione dell 8° ordine {p = 3); 



c) 0 sul piano doppio con curva di diramazione del 10° ordine 

 ip 6). 



2. Avanti di entrare in argomento, cioè di venire alla dimostrazione del 

 resultato innanzi enunciato, mi par conveniente di riportare la proprietà che 

 caratterizza le curve canoniche sopra una superficie di fronte ad un qualsiasi 

 sistema lineare (irriducibile) su di essa tracciato, poiché di questa proprietà 

 dovremo far uso più volte nel seguito. 



