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Sopra una superficie F una curva canonica sega la curva generica C di 

 un qualsiasi sistema lineare irriducibile |C|, secondo un gruppo che sommato 

 all' intersezione di un' altra C (ossia ad un gruppo della serie carcttteristica 

 di |C|) e al gruppo dei punti base di | C |, costituisce un gruppo canonico (di 



— 2 punti) della detta C (di genere 



Viceversa tale proprietà è caratteristica per le curve canoniche. 



È sottinteso che alla superficie F si possa indifferentemente sostituire una 

 sua trasformata, e però si debba tener conto opportunamente delle curve ecce- 

 zionali di F cui venissero a corrispondere punti base per |C|, aggiungendo 

 esse pure alle curve canoniche, appunto come si fa dei nominati punti base. 



3. Consideriamo una superficie F a curve canoniche (irriducibili) iperel- 

 littiche ( j9 > 2 > 1). Consideriamo su di F un fascio generico di curve 

 canoniche: le infinite g-i^ appartenenti alle curve (iperellittiche) del fascio, 

 danno luogo ad una involuzione r^^ su F: se gli elementi (coppie) di questa 



si considerano essi stessi come i punti (in senso astratto) d' una nuova 

 superficie F', la F' possiede un fascio razionale di curve razionali (ciascuna 

 curva essendo costituita dalle infinite coppie di una delle nominate g^^) , e 

 però è razionale ('), ossia rappresentabile punto per punto sul piano. Per con- 

 seguenza la data F è rappresentabile sul piano doppio, riferendo ai punti 

 del piano le coppie della A' (e ciò osserva pure il sig. Noether, Mathem. 

 Annalen Vili). Segue (-) che tutte le curve canoniche di F appartengono 

 all' involuzione ossia contengono infinite coppie di questa (costituenti alla 

 lor volta su ciascuna curva una involuzione 



La involuzione F^^ ottenuta su F a partire da un fascio di curve ca- 

 noniche (iperellittiche), varierà con questo fascio, o sarà indipendente da esso? 



È facile riconoscere che la r,' non varia al variare del fascio di curve 

 canoniche scelto su F. Si può fare la dimostrazione per assiu'do nel modo 

 seguente : 



se la su F varia col fascio nominato, essa deve variare con con- 

 tinuità, e con continuità deve variare ancora l' involuzione -/ì^ composta dalle 

 coppie di A appartenenti ad una data curva canonica; si ha dunque sulla 

 curva canonica una serie continua di involuzioni /aS le quali debbono essere 

 razionali (^), e la curva stessa è in conseguenza una curva ellittica (|)'^' = 1), 

 mentre abbiamo supposto che essa sia di genere j)"' ^ 1. 



(^) Cf. Noether, Ueber Flàchen tvelche eine Schaar rationaler Curven besitzen, 

 Math. Ann. IH. 



(2) Cf. Castelnuovo, Istituto lombardo 189], e le mie: Ricerche di geometria sulle 

 superficie algebriche, VI (Memorie Accad. Torino 1893). 



(3) Il teorema che afferma l'impossibilità di una serie continua di involuzioni irra- 

 zionali sopra una curva è stabilito implicitamente dal sig. Painlevé: Mémoire sur les èqua- 

 tions di fférenùielles du premier ordre, Annales de l' Ecole normale 1891, ed esplicitamente 

 (con altro metodo) dal sig. Castelnuovo, Atti dell' Accad. di Torino 1893, e dal sig. Hum- 

 bert, Comptes rendus e Journal de Mathématiques 1893. 



Rendiconti. 1896, Vol. V, 1» Sem. 26 



