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Deduciamo che sopra la superficie F vi è una involuzione alla quale 

 appartengono tutte le curve canoniche, tale che le coppie di formano su 

 ciascuna curva canonica (iperellittica) la (/2^ che essa possiede. 



Dunque nella rappresentazione di F sul piano doppio (ottenuta riferendo 

 ai punti del piano le coppie di T^) le curve canoniche hanno per immagini 

 le curve razionali d' un sistema lineare oo^'-'. Questo sistema lineare di curve 

 razionali è determinato dal gruppo base, perchè altrimenti ogni curva razio- 

 nale del sistema più ampio cogli stessi punti base sarebbe l' immagine (doppia) 

 di una curva su F cui spetterebbero le stesse proprietà caratteristiche per le 

 curve canoniche (§ 2). 



Questa osservazione ci permette di affermare in particolare che le oo?-^ 

 curve canoniche di F passanti per im suo punto generico A, (le quali curve 

 passano in conseguenza per il punto coniugato di A nella Fg^), non passano 

 tutte per altri punti variabili con A. 



4. Riferiamo proiettivamente gli elementi (curve) del sistema canonico 

 00^-^ su F, agli iperpiani Sp_2 di un Sj,_i: si ottiene allora in S^-i una su- 

 perficie ^ i cui punti rappresentano le coppie della , cioè una superficie 

 doppia (dotata d' una certa curva di diramazione) su cui la F viene rappre- 

 sentata. La è (per ciò che si è detto innanzi) una superficie razionale rap- 

 presentabile sul piano prendendo come immagini delle sezioni iperpiane le 

 00 v-'^ curve razionali di un sistema determinato dai punti base ; essa è dunque 

 una superficie normale a sezioni iperpiane razionali ; perciò il suo ordine vale 



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La <l> può essere ('): 

 1° un piano; 



2" una superficie di Veronese del 4° ordine in Sg; 



3° una superficie rigata. 

 Discutiamo partitamente i tre casi. 

 Gaso 1°. Se la d» è un piano (doppio), si ha 



e poiché una retta del piano è l'immagine (doppia) di una curva canonica 

 su F, di genere 3, la curva di diramazione del piano doppio (P ha l' ordine 8. 

 Caso 2'\ Se la è una superficie di Veronese del 4" ordine in Sg , si ha 



e poiché una sezione iperpiana di è l'immagine (doppia) di una curva ca- 

 (') Cfr. Picard, I von Creile, C. e Guccia, Circolo Mai di Palermo, I. 



