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nonica su F avente il genere jd'" = 9, la curva di diramazione su cP ha 

 l'ordine 20. 



Kappresentiamo la O punto per punto sul piano, in guisa che le sezioni 

 iperpiane di essa abbiano per immagini le coniche, ed avremo rappresentato 

 la superficie P sul piano doppio con curva limite di ordine 10. 



Caso 3". La (t> sia una rigata razionale normale in Sp_i (jd > 3). 



Dico che le generatrici di (P rappresentano (doppiamente) curve di ge- 

 nere 2 (costituenti un fascio) su F. 



Si escluda dapprima che la (P stessa sia in cono. Allora le generatrici 

 di <P non hanno alcun punto comune, e poiché inoltre a ^> non appartiene 

 alcuna curva eccezionale, le curve C di F corrispondenti alle rette di <P for- 

 mano pure un fascio (lineare) senza punti base; perciò le curve canoniche se- 

 gano le curve C (di genere tt) su F, ciascuna in un gruppo canonico di 

 2Tt — 2 punti e poiché le segano in due punti, le C stesse hanno il ge- 

 nere 71 =2. 



Se la (P è un cono, potrebbe nascere il sospetto che il suo vertice fosse 

 immagine di qualche punto base pel fascio delle curve C aventi come immagini 

 (doppie) le generatrici di <P. Ma in questo caso possiamo valutare il ge- 

 nere TT delle C nel seguente modo: 



Un iperpiano pel vertice del cono O (di S^_i) sega il cono stesso in 

 «(1) — 1 



- — generatrici, al gruppo delle quali corrisponde su F una curva ca- 



nonica spezzata in altrettanti componenti di genere tt ciascuna : queste com- 

 ponenti debbono esser fra loro connesse, come si deduce riguardando la detta 

 curva spezzata come limite di una curva canonica irriducibile, e però se si 

 valuta il genere (;j''') della nominata curva composta secondo la nota for- 

 mula che dà il genere d'una curva spezzata ('), si ha 



da cui segue (essendo /r^l) tt = 2. Del resto ciò può anche confermarsi 

 col computo dell' ordine della curva di diramazione su <P e del numero delle 

 sue intersezioni colle generatrici di (P. 



Resta così provato che le superficie a curve canoniche iperellittiche rien- 

 trano nelle tre classi delimitate nel § 1. 



Importa ora di vedere che le superficie di queste classi hanno effetti- 

 vamente le cm've canoniche iperellittiche. 



5. Chè le superficie possedenti un fascio lineare di curve C di genere 

 due abbiano le curve canoniche iperellittiche (supposto j9 >> 2 > 1 ) , 



(1) Cfr. Noether, Ada matematica, 8, e la mia: Introduzione ecc., § 16. 



