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Questo elemento convergerà nello stesso cerchio (r) di c((x), e per ogni 

 punto X interno a quel cerchio si avrà 



|«(^)| < a(l^l). 



2. L' integrazione indefinita applicata all' elemento a(x) ci darà un ele- 

 mento convergente entro il medesimo cerchio, in cui rimarrà però indetermi- 

 nato il termine indipendente da Volendo togliere questa indeterminatezza, 

 potremo convenire di determinare la costante d' integrazione in modo che 

 se a(^) è nullo dell' ordine m per x = 0 , V integrale sia nullo dell' ordine 

 m -\- l: fatta questa convenzione, l' operazione d' integrazione viene ad essere 

 resa ad un valore, cioè tale che applicata ad un elemento determinato dà 

 come risultato un elemento unico e determinato; essa è inoltre un'opera- 

 zione distributiva. Usando, come al solito, il simbolo D ad indicare l'opera- 

 zione di derivazione, indicheremo con 1' operazione di integrazione deter- 

 minata come si è detto, e colla reiterazione di essa avremo le operazioni 

 distributive D-^ , D-^ , ... esse pure determinate ad un valore dalla condi- 

 zione che B-P , applicata ad un elemento che si annulla dell' ordine m per 

 ^ = 0, dia per risultato un elemento che vi si annulla dell'ordine m~{-p. 



Essendo ri un numero positivo arbitrario inferiore ad r , si ha imme- 

 diatamente, per \x\<.ri, 



(2) |D-'«(^)|<n5(r,), |D-"«(^)|<^a(r,). 



3. L'operazione funzionale D-^ può venire rappresentata mediante una 

 serie ordinata per le potenze intere positive del simbolo operatorio D della 

 derivazione. Indicando infatti per un momento con /?(^) il risultato di 



applicata ad a(^) , si ha per j.^;] <^ r : 



a 



^{a; — a;) = §{x) — ^ D/3 + ^ 



e ponendo per /? la sua espressione D-'a e per il suo valore, che è 

 zero, viene: 



(3) D-i« = ^«— Da + I^D^a 



Questa serie converge assolutamente ed in ugual grado entro il cerchio 

 : essendo infatti 



viene 



|«(^)| <.«(/) , |D"a(^)|^D«a(/) , 



