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e per la (2) : 



|D-V(^)|<^A(r') 



onde 



1 D-i (D"a . /?) I < D" a {/) . ^ (/) ; 

 ora per le ipotesi fatte, la serie a termini positivi 



co m' n 



è convergente, onde il termine ultimo della (6), D"^(D"a . D~"/S) , tende a 

 zero per n= ao; da ciò risulta dimostrata la convergenza della serie che 

 si ottiene facendo n = oo nel secondo membro della (6), e dalle considerazioni 

 stesse che si sono fatte emerge inoltre la convergenza in ugual grado ed as- 

 soluta della serie stessa per \a;\<C'^r. Siamo giunti in tal modo alla for- 

 mula : 



(7) D-ia/S = y (— l)"D"«.D-<'^+iV , 



n=o 



valida per ogni coppia di elementi a , (ì convergenti in un cerchio comune (r) 

 di centro 0 e pei valori di a; compresi nel cerchio rj . 



Le serie (3), (5), (7) procedono per le derivate successive della funzione 

 arbitraria a; esse appartengono quindi alla classe di serie che ho conside- 

 rate in un recente lavoro (^) e precisamente sono fra quelle che ho dette di 

 prima sjjecie, cioè al cui campo funzionale di convergenza appartiene ogni 

 funzione regolare in un intorno di ^ = 0 . 



La formula (7) si può dire in qualche modo 1' analoga, nel calcolo fun- 

 zionale, di ciò che è la serie geometrica nella teoria delle funzioni. 



Con procedimento analogo si giunge alla formola più generale 



(7') D-»*» = 1^ (— 1)" ^ ~ ] D"« . D-«"/S , 



n=» \ ^ / 



di cui lo stesso ragionamento fatto per la (7) vale a provare la convergenza 

 per \x\<i — r. 



6. Nella formula (7), se alle J)-^^ sostituiamo i loro sviluppi (5), ot- 

 teniamo una serie doppia, che risulta però convergente assolutamente e che 



(^) Della validità effettiva di alcuni sviluppi. Eendiconti della Eeale Accademia dei 

 Lincei, 19 gennaio 1896. 



