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quindi si può sommare nell' ordine che più aggrada pei valori di x com- 

 presi nel cerchio . Infatti, il termine generale di questa serie doppia 

 sarà 



{n — l)\v\{n-\-v) 

 il cui modulo, per I.r|<^/, è minore della quantità positiva 



^,DV(r')D'-5(r') 



e la serie doppia formata con questi termini positivi e che risulta dal pro- 

 dotto delle serie 



è certamente convergente per / r . 



Una analoga osservazione vale per le serie (7'). 



7. Abbiasi una successione infinita di elementi Ao , Ai ... A„ , ... con 



i quali siano convergenti in un cerchio comune (r), e si consideri la serie 



(8) S(9)=yA„D-"9) 



dove è un elemento arbitrario convergente nel medesimo cerchio (r). 



Per poter parlare della convergenza nella serie (8), occorre naturalmente 

 assoggettare i suoi coefficienti In a qualche limitazione. Noi porremo la se- 

 guente, assai poco restrittiva, essendo essa, come è facile vedere, soddisfatta 

 in casi estesissimi : ammetteremo che esistano tre numeri positivi ri<Cr , g 

 e c qualunque, tali che essendo /„ il limite superiore dei moduli di {x) 

 nel cerchio (ri) , si abbia 



(9) ln<gn\c^. (;^ = 0,l,2,.... oo). 



Sotto questa condizione, la serie (8) risulta convergente assolutamente 

 ed in ugual grado per i valori di x tali che sia 



1^1 <. r2 <C ri <^ r : 



essa darà quindi un elemento di funzione analitica pure regolare nel cerchio (ri), 

 ed S sarà pertanto simbolo di un' operazione funzionale distributiva. 



A dimostrare ciò, indichiamo ancora con ^ ciò che diviene (f> quando si 



