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cambia ogni coefficiente di questo elemento nel rispettivo valore assoluto; 

 avremo in forza della (2): 



basta ora fare 



c 



essendo c' un numero positivo arbitrario minore dell' unità, per rendere la (8) 

 convergente assolutamente ed in ugual grado in un intorno di x = 0 , qua- 

 lunque sia r elemento (p . 



Eisulta da ciò che sotto la condizione (9) e pei valori di x indicati, 

 alla serie (8) si può applicare la derivazione termine a termine. 



8. Se una serie della forma (8) in cui la condizione (9) si suppone 

 soddisfatta, è tale da dare come risultato lo zero per ogni elemento (p che 

 in essa si sostituisca, ne saranno identicamente nulli tutti i coefficienti. Po- 

 tremo anzi dimostrare che basta che la (8) si annulli quando si pone per 

 (p una qualunque potenza intera positiva x^ della variabile, perchè siano 

 identicamente zero tutti gli elementi lo , , h ■, — 



Presa infatti (p ~ x'^ viene 



A+l , (A + l)(/i + 2)...(A4-w)' 



onde 



Ordinando per le potenze di ^ , il che è lecito per l' ammessa convergenza in 

 ugual grado che è conseguenza della condizione (9), verrà 



«0.0 = 0 , tìlo.l + ]^J^l = 0 , ... 



ed in generale 



A+l "t" (/i + 1) (/i + 2) ^ (/i4- 1) (/i + 2) ... {il + i') ~ 



Fissato V , questa relazione ha luogo per ogni valore di /i e si può scrivere : 



(10) ao.v (/i + 1) (/ì -I- 2) ... {h + v) + a,.,-, {Il + 2) ... (A + r) H y a,., = 0 . 



Mutando h in h 1 , h 2 , ... h -\- v , avremo un sistema di v 

 equazioni lineari omogenee fra le «o.v , fl^i.^^-i , ••• <^v.o ; ora, se questi coeflfi- 

 cienti non fossero tutti nulli, dovrebbe essere nullo il determinante 



(h -\- 1) {h 2) ... {h -\- v) (^h-i-2)...{h-\~v) h-i-v 1 



{h + 2) (/i -f 3) ... (/i + r + 1) {h 4- 3) ... (/i-j- V + 1) .... /i + r + 1 1 



(/j + v + l)(/i + r + 2)...(/i + 2r) (/i-j-r-f- 2) ... + 2r) .... A + 2f 1 



