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Matematica. — Sulle equazioni differendali delle quadriche 

 di uno spada ad n dimensioni. Nota di Luigi Berzolari, pre- 

 sentata dal Socio Beltrami. 



Nel lavoro che ha per titolo Sur le contact des surfaees (^), 1' Halphen, 

 prendendo occasione da un'osservazione già fatta dall'Hermite (^) a propo- 

 sito della ricerca delle quadriche tangenti in un punto dato ad una data su- 

 perficie, ha rilevato come tale questione, e piti in generale la questione 

 analoga in cui si tratti, anziché di quadriche, di superficie algebriche di un 

 dato ordine w, equivale a quella di assegnare le equazioni alle derivate 

 parziali di ordine minimo, non contenenti nessuna costante arbitraria, alle 

 quali soddisfanno le superficie d'ordine m. Dopo aver indicato un metodo 

 per determinare siffatte equazioni, ha poi trovato in particolare che le super- 

 ficie di 2° grado soddisfanno a due equasioni alle derivate parziali del 

 3° ordine, le quali si ottengono scrivendo le condizioni perchè il polinomio 

 di 3° grado in a 



cr H- àa^ ; + òa -A r 



sia divisibile per il polinomio di 2° grado 



e sono appunto quelle che già l'Hermite (^) aveva indicato per la possibilità 

 del contatto di 3° ordine fra una data superficie ed una superficie di 2° grado. 



Volendo ora risolvere il medesimo problema per le quadriche (ad n — 1 

 dimensioni) di uno spazio ad un numero qualimque 7^[^2 ('^)] di dimen- 

 sioni, basterebbe ripetere gli stessi ragionamenti fatti dall'Halphen nei n'. 4 e 5 

 del 1. e, e si concluderebbe che tali quadriche debbono soddisfare ad 



equazioni {^) alle derivate parziali del 3° ordine (non contenenti nè le coor- 



(1) BuUetin de la Société Math. de France, t. Ili, pag. 28. 



(2) Cours (Tanalyse de VÉcole polytechnique, 1873, pag. 139 e segg. 



(3) L. e., pag. 148-149. 



(4) n caso delle coniche (re = 2) dev'essere trattato a parte, perchè l'equazione dif- 

 ferenziale corrispondente è del 5° ordine. Un metodo diretto e semplicissimo per trovarla 

 è stato indicato dall'Halphen nella Nota Sur Véquation dijférentielle des coniques (Bul- 

 letin de la Soc. Math. de Franco, t. VII, pag. 83), la lettura della quale ha appunto dato 

 occasione al presente lavoro. Il metodo dell' Halphen è stato riprodotto dal Jordan a 

 pag. 1.57-158 del 1" volume del suo Cours d'analyse de VÉcole polytechnique (2* edi- 

 zione, 1893). 



(^) Cioè ad una di più del numero che verrebbe assegnato dalla teoria generale : 

 cfr. ad es. Jordan, 1. c.> pag. 159. 



