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di D , onde si conclude incidentalmente che fer una quadrica di uno spazio 

 avente un numero dispari di dimensioni, la curvatura di Eronecker ha 

 lo stesso segno in ogni punto, e precisamente è positiva o negativa, se- 

 condo che il discriminante della quadrica è negativo o positivo. 



3. Per dedurre ormai dai risultati del n. 1 le equazioni differenziali 

 cui deve soddisfare la s , osserviamo che per la (4) si ha : 



^ = ±rpa>a^-i (l = l,2,...,n-l), 



dove V'^^ è un polinomio di 2° grado nelle sole variabili Xi ,Xì , ... , ^x_i , 

 ^x+i , ••• , Xn-i . Da questa relazione e da quella che se ne ottiene derivando 

 rapporto ad x\ segue: 



(6) ^-^-^f {1 = 1,2, ...,n-l). 



l)Xx 



Se inoltre chiamiamo Z''r'2 V> l'espressione analoga alla Z^^'^'-''"' e for- 

 mata colle derivate seconde prese rapporto ad r qualunque, sci^ , xi^ , ... , Xi^, 

 delle variabili X]. , x^ , ... , Xn-u dalla (4) si deduce: 



essendo P un polimonio di 2° grado nelle sole n — r — 1 variabili rima- 

 nenti. Dividendo per quest' ultima relazione quella che se ne ricava derivan- 

 dola rapporto ad una qualunque delle Xi^ , Xi^ , ... , Xi^, che dii-emo xx , si ha 



(7) = -(^ + 2)-' (A-^\,^•3,...,^V), 



^(,il,i^,...,ir) 0X\ «*' 



la quale, al pari della (6), qualunque sia r, è valida anche nei segni. Dalle 

 (6) e (7) si deduce allora: 



^ 3jz^;^ _ r + 2 ^ _ Q / i = 1, 2, ... , ^ - 1 , 



l)Xx^ 1)X\ 3 ~ÒX\^ \ 3 _ • • 



e queste sono in sostanza le equazioni alle derivate parziali del 3° ordine, 

 a cui deve soddisfare la funzione s. 



Per ottenere tali equazioni sotto la forma più semplice, basta dare ad r 

 i valori più piccoli possibili, cioè 2 e 3. 



