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Per r = 2 , ponendo ad es. i^ = X, io — e denotando per semplicità 

 cogli indici 1 , 2 , . . . , ?2 — 1 le derivate rapporto ad 

 dalla (8) risulta: 



(I) 3 SxK {^xx Sx<j.ij. — 2 Sxti. Sxx^j.) -f- 2xXX (4 SxX = 0 , 



dove 2 e ,u sono due qualunque fra i numeri 1, 2, . . . ,n — 1. Ma si pos- 

 sono ottenere equazioni ancora più semplici: invero, se nella precedente si 

 scambiano fra loro l e ^, indi dalle due equazioni ottenute si elimina 2xu.i,. , 

 e si divide la risultante per 4 s^xu. — 2xx (quantità che sulla quadrica non 

 è nulla), si ottiene: 



(I ) 2 ^XfA ^xxx ~\~ 2\x s^u.i^j. 3 Sxx ^f/.f/. ^xx^j. =^ 0 • 



Per r — 3, posto A = A , ^ = ^ , 4 = r , la (8) diventa : 



2SXXX ^XX (%.rA S'vv ^^y.^) ~\~ ^^XXX (2^X[a ^^X^i. ^-jv ^y.p.) 



— 3^XX \2SxXii. i^X-i «XfJ. ■^w) •")- 2^xxv («Xy. -S'^^v — ^X^ 



■S'XfAfi. ^^Xv ^X^v 0) 



dove A, fx, V sono tre qualunque fra i numeri 1, 2, . . . ,n — 1. Anche a 

 questa si può dare una forma assai più semplice: infatti, moltiplicandola 

 per ^xx , sostituendo a 3^\x «xy.ij. e '3s\x ^x^^^( le loro espressioni che si rica- 

 vano da (I), e dividendo poi per il binomio ^xx -^.v — Sxu. «xv , che sulla 

 quadiica non è nullo, risulta: 



(II) ^XXX (4^X,u. ^Xv ^XX "fiv) 35'xx {ZXXu. 2x^ -\- 2xx^ 2xy. 3xiJ.^ Sxx) = 0. 



Concludiamo che le (/') e (li) sono, sotto la forma più semplice, le 

 equazioni alle derivate parziali delle quadriche di uno spazio ad n di- 

 mensioni; le equazioni del tipo (P) sono in numero di (n — 1) (n — 2); nel 



tipo (II) basta scegliere quelle, in numero di ^(n — l)(n — 2)(n — 3), che 



si ottengono ponendo per A, fi, v le sole combinazioni dei numeri 1, 2, ... , w — 1. 

 Così si hanno in tutto le richieste equazioni nel numero voluto, cioè 



Notiamo ancora che alle (II) si può dare una forma simmetrica ed assai 

 notevole, eliminando da esse ^xxy. e ^xxv per mezzo di (!'); si ottiene così: 



(III) ZxxxZu. 



Onde si può dire che le equazioni richieste sono o le (P) e (II), o le (P) 

 e (III). Sotto quest' ultima forma riesce evidente che le equazioni trovate sono 

 tutte indipendenti fra loro : infatti ciascuna contiene una derivata (di 3° or- 



