Dalla (2) segue 



.1 (A — «i)' (^2 — cz,y i^n — f^nY 



il 2 ! e ! 



e perciò la serie 



00 



(3) Fo(^i ... ^Cn\ Vi - yn) = — X Si {Xi ... Xn\ tjl - Vn) 



0 



sarà uniformemente convergente e rappresenterà una funzione finita e con- 

 tinua delle variabili Xi , x-ì ... Xn \ yi • y% ••• yn • 



3. Operiamo ora sulla Fq nello stesso modo tenuto colla So; costruiamo 

 cioè le funzioni 



d^l... "'d^n'S'i-j{Xi...Xn\h-^n)'Fj-i{^i...^n\yi-yn] 



e formiamo la serie uniformemente convergente 



00 



— ^'Fi {xi ... Xn\ Vi ... yn) . 



0 



Dico che la sua somma sarà So . 



Per provarlo si può seguire lo stesso metodo tenuto nella Nota citata (') 

 per dimostrare il teorema medesimo nel caso in cui So è una funzione di due 

 sole variabili; ma si può anche far uso di un altro procedimento come ora 

 mostreremo. 



Si ponga il coefficiente binomiale 



'm{m — \)...{m — i-{-l) r■^r,^ . 

 ry = (e>0); mo = l 



e cominciamo dal dimostrare che 



00. 00 



(4) Fi = (- 1)^-1 1,^ Mi S„ (- 1)^+1 2,^ mi S« . 



Infatti questa formula è vera per i = 0. 

 , Supponiamola verificata per valori dell'indice inferiori ad i e mostriamo 

 che è vera per l' indice i. A tal fine poniamo un apice ad una qualsiasi fim- 

 zione F 0 S, quando alle y^ si sostituiscono le , e poniamo due apici 



{}) Sulla inversione degli integrali definiti. Eendiconti E. Accad. dei Lincei, fase, 

 del 15 marzo 1896, § 2. 



