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Potremo dunque enunciare il teorema : 

 La reiasione funzionale 



(C) /(yi ... y„) = 9) (yi ... yn) + dxi...\ dXn^fiiCi ...■Xn)TL{xi...Xn\yi-yn) 



si inverte mediante la formola 



(C) (f{Zi...Sn) = f{z,...3n)-[- | 'dy,...\ "c??/» /"(^i ... y„) /l (j/i ... «/n^l •.• 



in cui h si calcola dalla H mediante le formole jrrecedenti. 



8. Non sempre i problemi cVinversione si riducono immediatamente alla 

 forma precedente in modo da risolverli applicando subito il procedimento in- 

 dicato. Per gì' integrali semplici (•) la detta riduzione è immediata, invece 

 la questione si presenta in modo molto complicato nel caso di integrali 

 multipli. Per chiarire questo fatto si consideri, per esempio, il problema di 

 determinare (f> {xi , Xì) dalla relazione funzionale 



(6) ^(^1,^2)=) dxA dx2<f{xi,X2)'R{xi ,Xi\yi ,yì). 



Derivando la precedente espressione rapporto ad yi e ad ^2 otterremo 

 = ^ (y, , 3/2) H {y, .y,\y.. y.) + ^'\{x. , y.) 



Ja^ òyz Ja^ J a..^ òyi oyz 



Supposto H {yi ,yz\yi, yz) g 0, dividendo per questa funzione la re- 

 lazione precedente, essa potrà scriversi sotto la forma 



Hi 



(7) - /"(yi . ^2) = 95(2/1 , 2/2) + (p(a!i,y2)T:(xx\yr,y2)dx, 



V (1/1 . V (^2 1 ^2 ; yi) ^^^2 + 'dxi 'dxi (p {xx , Xi) S {xi ,Xi\yi, y^) 



che è evidentemente ben diversa dalla (C). 



9. In generale, allorché H ... y„ | yi...y„)% 0, la equazione fun- 

 zionale 



(8) (9(^1 ... yn) = dXi ... dXn y> (^1 - Xn) H {Xi ... Xn\ yi ... yn) 



(I) Cfr. Nota citata § 4. 



