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condurrà, derivandola rapporto ad y\ ,yì - yn-, e quindi dividendo per 

 H(2/i ... yn I y\ ... ^n) , ad una relazione in cui il primo membro è noto ed 

 il secondo contiene la somma della fimzione incognita e di integrali i cui 

 ordini vanno da 1 ad n e sotto ai quali comparisce la funzione incognita 

 stessa. Essa avrà quindi la forma 



(9) f{yi-yn) = <f{yx-yn) 



nella quale 2i ... e„ denota una permutazione dei numeri 1,2... ra; con 

 (p{oCi^ ... xi^^ , yi^^^ ■■• yij si intende la funzione cp {xi ... Xn) in cui si sono 

 sostituite Vi ... tii al posto di Xi ... Xi ; e V. . indica una somma 

 ottenuta facendo tutte le combinazioni h ad h degl' indici 1 , 2 , ... ?^ . La / 

 e le Tii...i^^ che compariscono nella formola precedente sono funzioni note. 



Per ricondurre la equazione funzionale (9) alla forma (C) bisognerà 

 trasformarla in modo da far comparire nel secondo membro due soli termini, 

 cioè il primo termine y {y^ ... ed un solo integrale multiplo. 



Supponiamo per un momento che si sia riesciti a trasformare la rela- 

 zione funzionale (9) in modo da eliminare nel secondo membro tutti gli 

 integrali semplici, doppii ecc., fino a quelli d'ordine r — 1 , e quindi che la 



anziché da 1 ad n sia estesa da r ad n. Essa allora sarà ridotta 

 , al tipo - 



(10) f{yi ... yn) — 9 (yi - yn) ^ 



Z/, Zi ìA dXi^(f'{xi,...Xi^,yi,^^,...yiJTi^..,,^{xu...Xi^\yi,...yi^\yi,^^^.^^^ 



Mostriamo come, giunti a questo punto, sia possibile trasformare 1' equazione 

 funzionale in modo da eliminare gl'integrali d'ordine r. 



Sia Si ... Sr una delle combinazioni d' ordine r degl' indici 1, 2 ... ?z , a cui 

 nel secondo membro della equazione precedente corrisponda un integrale 

 d' ordine r. 



Si sostituisca in ambo i membri della equazione (10) ^s^^, — ^s„ in luogo 

 di ysr+i — ysn '■> quindi si moltiplichino ambo i membri per 



(11) 



tsi ...Sr {ysi — ysr I — ; ■^«r+i ••• ) dys^ ... dys^ 



