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Matematica. — Operazioni distributive: le equadoni differen- 

 ziali lineari non omogenee. Nota del Corrispondente S. Pincherle. 



In una Nota precedente (') ho indicate alcune delle proprietà fondamen- 

 tali delle serie ordinate secondo le potenze intere negative del simbolo D , 

 rappresentativo dell'operazione di derivazione, convenendosi di intendere 

 con D-'* <p{x) quella determinazione che è nulla dell' ordine li -j- m per il 

 punto ^ = 0, se (f è nulla dell'ordine 1% in quel punto. Nel presente lavoro 

 mi propongo di mostrare come quelle serie si prestino facilmente all' inte- 

 grazione delle equazioni differenziali lineari non omogenee o, in altri ter- 

 mini, come esse siano atte a rappresentare l'operazione F-^ inversa di una 

 forma differenziale lineare F (-). 



È nota r analogia, già ravvisata fin dal Lagrange e dal Libri, fra le 

 equazioni differenziali lineari omogenee e le equazioni algebriche; è pure 

 noto come benché studiata e svolta da numerosi autori in vari sensi e per 

 una così lunga serie di anni, essa conduca oggi ancora a risultati di grande in- 

 teresse, come ne fauno fede recenti lavori dei signori Picard e Vessiot. jIì quindi 

 naturale di pensare che questa analogia debba riposare su alcunché di es- 

 senziale, ed è altrettanto naturale di cercare di estenderla, raffrontando le 

 forme differenziali lineari coi polinomi razionali interi, poi, con un passo ul- 

 teriore, le inverse delle forme differenziali colle funzioni razionali fratte. Questo 

 riavvicinamento, facilitato dall'impiego delle serie piti sopra ricordate, non 

 solo permette di porre in migliore luce risultati già noti, ma serve anche a 

 dedurre nuove conseguenze, fra cui quella espressione analitica di F~^ che co- 

 stituisce r oggetto principale della presente Nota. 



1. Abbiasi una forma differenziale lineare dell'ordine n 



(1) F(g)) = TTo D"(p + TTi D"-iy -\ Y 7r„_i + n.n (f 



i cui coefficienti tto , tti , ... 7r„ siano funzioni analitiche regolari in un in- 

 torno comune di un determinato valore della variabile x , per esempio del 

 valore x = 0 , essendo di piti ttq differente da zero in quel intorno. Per bre- 

 vità, gl' integrali dell' equazione differenziale lineare omogenea F = 0 si di- 

 ranno integrali della forma. 



Diremo razionalmente risolubili quei problemi riguardanti la forma F , 

 la cui soluzione si ottiene colle sole operazioni razionali e di derivazione 



(') Operazioni distributive: V integrazione successiva. Rend. della E. Accademia dei 

 Lincei, fase. 7°, 1° sem., 1896. 



(^) Con forma differenziale lineare F, s' intende, secondo il solito, il primo membro di 

 un'equazione differenziale lineare F = 0; è chiaro che F è simbolo di una operazione fun- 

 zionale distributiva. 



