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eseguite sui coefficienti della forma stessa, senza che sia necessario di co- 

 noscerne gì' integrali. 



Dalla forma F si possono dedurre, applicando la regola di derivazione 

 al simbolo D (come se la F fosse un polinomio razionale intero in D) le 

 nuove forme 



F' {(f) = n7To D^-'y -{-(n — l)n, D"--^? -j [- 7r,,_i (p , 



V {(p) = nOi — 1)710 D'^^^ + (w — 1) (72 — 2) D'^^yj + - 1.2 7r„_2 (p , 



che si diranno le derivate funzionali successive di F . 



Con queste derivate funzionali si forma il noto sviluppo per F (9) : 



(2) F(^V) 9^F(i/.) + . r{rp) + D V. r'ixp) + - + D>.F<"'(V.). 



2. Essendo ^) una funzione incognita, 9) una funzione data, la 



F(^) = ^ 



è un' equazione differenziale non omogenea, la cui integrazione equivale alla 

 esecuzione dell' operazione funzionale F~\ inversa di F, sulla funzione (p. 

 Questa operazione F~^ è a determinazione multipla: dico però che se ne può 

 dare una determinazione unica e determinata mediante una serie della forma 



(3) y X, D-> , 



in cui le sono funzioni analitiche determinabili univocamente e razional- 

 mente. I)i più, per ogni elemento di funzione analitica, (f regolare nell' in- 

 torno di ^ = 0 , la serie precedente è convergente assolutamente ed in ugual 

 grado in un intorno di quello stesso punto e rappresenta quindi un elemento 

 di funzione analitica regolare nell' intorno di ,r = 0. 



Per giungere a questo risultato, procederemo come segue : dovendo essere 



(4) FF-i = l, 



applicheremo l' operazione F alle serie (3), ordineremo per le potenze decre- 

 scenti di D ed uguaglieremo a zero i coefficienti delle singole potenze di D 

 (meno quello di D") in forza di quanto è stato dimostrato al § 8 della Nota 

 precedente. Avremo così una successione di equazioni che varranno a deter- 

 minare di mano in mano i coefficienti ; in quanto alla legittimità del 

 procedimento, essa si dimostrerà a posteriori mostrando che i coefficienti Xs, 

 per esso ottenuti soddisfano alla condizione di convergenza (9) della prece- 

 dente Nota. 



3. Dalla (4) ricaviamo anzitutto che il più alto esponente del simbolo D 



