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nello sviluppo (3) è — /^ , il che esprimeremo dicendo che quello sviluppo 

 è dell' ordine — n . Posto dunque 



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applichiamo la F ad ambo i membri ed ordiniamo il secondo membro per 

 le potenze decrescenti di D. Con un calcolo facile, scorgiamo che nei coef- 

 ficienti si presentano in evidenza le derivate funzionali di F , essendo 



FF-^ = f^(F(A.) + F'(A,^0 + j| F"(A..3) + - + ^ F<«'(A,^„)) D- , 



dove sono da porre uguali a zero tutte le A con indice inferiore ad n. Avremo 

 dunque dalla (4), per il citato teorema: 



F<"-^H^.) + j^-^ F<«-^(A„^0 + TV, = 0 



F(2,) + F'(A,^0 + - F<«-" + TTo A,^„ = 0 



che determinano univocamente le Xn , K-ti , — come elementi di funzioni ana- 

 litiche regolari nell' intorno di ic = 0. Si ha in particolare : 



f'n » ^«4-1 2 1 6CC. 



La forma stessa delle equazioni (5) dimostra inoltre che tutti questi coefficienti 

 sono determinati rasionalmente mediante i coefiìcienti ttq , ... tt^j della forma 

 data. 



4. Eimane ora da dimostrare la validità effettiva dello sviluppo trovato. 

 A quest'uopo, indichiamo con 1^ la serie di potenze di x che si ottiene 

 sostituendo nella A^, ad ogni coefficiente, il rispettivo valore assoluto; indi- 

 chiamo con (P la forma che si ottiene da — F mutando pure, nello svi- 



luppo in serie dei singoli coefficienti di essa F , ogni coeffi- 



ciente nel rispettivo valore assoluto, e con <Z>' , CP" , ... le sue derivate funzionali ; 

 sia infine r il raggio dell' intorno di = 0 in cui convergono le serie di potenze 



— e K, K+i , ... K+^-i e si ponga 



\x\ = u, u<C.ri<^r. 



