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La relazione ricorrente (5) ci darà: 



(6) = - ^(^F(A.) + P'(^.^o + - + F^"-' 



da cui 



l,^4tc) < q{J,(u)) + a)'(l,.i(?o) H ^^-^ 3'<'-i>(I.^,._,) . 



Sia ora g il massimo valore delle per u ^ r2<C.^ì'ì 

 si ponga per brevità 



^ ri — u 



e si avrà per ima nota proposizione della teoria delle serie di potenze: 



^ g ù}{u) , (s = 0 , 1 , 2 , ... r — 1) 



e quindi 



X„^.(^0 < g{^(co) + a>'(«) + - + <P'"-"(») + 1^ (P'">(a,)) . 



Ma r espressione entro parentesi, per la formula (2), non è altro che 



espressione che per tutti i valori di u<^rz ammette un limite superiore 

 finito h, che si può senza inconvenienti supporre in ogni caso maggiore del- 

 l' unità. Questo numero h dipende naturalmente dalla forma , ossia dalla F, 

 ma non dalla funzione arbitraria ^ cui essa forma è applicata. Ne viene 



Xn+v(M) < ìig , 



ma si ha 

 onde 



\K+H{x)\<:ihg 



e quindi 



jX^+v-t-i I <C ^^'^9 1 |^n+M+2l <C ^i^ff 1 ••• 1 l^n+N+i] <C h^'^^g . 



Ora queste condizioni rientrano evidentemente come caso particolare nelle 

 condizioni (9) di convergenza incondizionata date nella Nota precedente : per 

 cui risulta dimostrata la validità effettiva dello sviluppo (3) dato per F~'. 

 Questo sviluppo si può ordinare per le potenze crescenti di x ed incomincia 

 colla potenza x"^ : esso ci dà quindi queir integrale dell' equazione F(i/') = (p 

 che è nullo insieme alle sue n — 1 prime derivate per ^ = 0 , e che gli 

 autori tedeschi chiamano integrale principale (Hauptintegral). 

 Eiassumendo, possiamo quindi concludere che: 



L'integrale principale dell'equazione differenziale lineare non omogenea 



F(i//) = 7To D"t// + TTi D"-i ip^ \- 7r„_i Tnp^n,,xp = (f 



