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Matematica. — Funnoni olomorfe nel campo ellittico (esten- 

 sione di un celebre teorema di Weierstrass). Nota di Ernesto Pascal, 

 presentata dal Socio Cremona. 



Dato un piano complesso (Riemanniana di genere zero), si possono co- 

 struire su esso funzioni trascendenti le quali abbiano un solo punto di sin- 

 golarità essenziale, infiniti punti-zero, e nessun altro punto d' infinito. 



Tali funzioni si sogliono chiamare olomorfe, e il punto di singolarità 

 essenziale può porsi in un luogo qualunque della Riemanniana. Un celebre 

 teorema di Weierstrass insegna a costruire una siffatta funzione mediante 

 un prodotto infinito, quando sono stabiliti i punti-zero della funzione stessa. 



Supponiamo ora data una Riemanniana di genere uno (ellittica) ; propo- 

 niamoci per essa il medesimo problema, cioè costruire funzioni trascendenti 

 che non abbiano punti d' infinito salvo i due punti all' infinito dei due piani 

 che costituiscono la Riemanniana, nei quali la funzione abbia singolarità 

 essenziali, e che abbia infiniti punti-zero sulla Riemanniana stessa. 



Considerando p. e. la Riemanniana ellittica corrispondente alla relazione 

 solita 



^\u) = 4 f(v) — ^2 ^(m) — ^3 



si ha una funzione di u definita nel primo parallelogrammo fondamen- 

 tale dei periodi 2(«, 2w', e che in questo possiede infiniti punti-zero, e nessun 

 punto d'infinito, oltre il punto m = 0 che è un punto di singolarità essen- 

 ziale. Disporremo la rete di parallelogrammi nel piano m, in modo che il 

 punto M = 0 sia il centro del parallelogrammo fondamentale. 



È notevole che per queste funzioni, le quali stanno alle funzioni ellit- 

 tiche, come le funzioni olomorfe ordinarie stanno alle funzioni razionali, si 

 può dimostrare una formola che è assai simile a quella citata di Weierstrass. 

 Quando i semiperiodi «, «' diventano infiniti, le funzioni ellittiche degene- 

 rano in funzioni razionali, e il parallelogrammo fondamentale viene ad esten- 

 dersi per tutto il piano delle m, tali funzioni diventano le funzioni olomorfe 

 ordinarie (quando si trasporti il punto di singolarità essenziale nel punto ii — ^). 



Scopo di questa Nota è di mostrare la costruzione della formola indi- 

 cata, e infine di applicarla alla costruzione di una funzione da reputarsi, da 

 questo punto di vista, come estensione della funzione olomorfa o" di Weier- 

 strass. Si potrà poi anche definire un numero simile a quello chiamato da 

 Laguerre il genere di certe funzioni olomorfe. 



Funzioni di tale specie sarebbero p. e. delle serie convergenti i cui termini 

 sono dei due tipi 



