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(n = numero intero positivo), e che poi per le note proprietà della funzione 

 p, si possono trasformare in serie i cui termini procedono secondo le deri- 

 vate successive della funzione p. - 



§ 1. Astensione della formala di Weierstrass. 

 Sia F{u) la supposta funzione olomorfa nel campo ellittico, e indichiamo 

 con du) il noto integrale di 2^ specie ellittico 



fW = ^ ■ 



e sieno Ui Uz ... i punti zero di F nel parallelogrammo fondamentale; tali 

 punti li indichiamo con un indice solo, ma potrebbero anche dipendere da 

 più indici. Essi formino un gruppo di punti il cui punto limite è il punto 

 u = 0. Consideriamo la serie 



Dico che si può sempre scegliere un tal valore intero positivo di k, 

 in modo che questa serie sia equiconvergente nel parallelogrammo fonda- 

 mentale, da cui con un' area, piccola a piacere, sia stato escluso il punto u = 0. 



In effetti se k non può prendersi fisso al variare di potrà sempre 

 prendersi k = n (se le m„ dipendono da più indici, sieno p. e. del tipo Umn, 

 allora si prende k eguale al prodotto degli indici), e per un tale k certa- 

 mente la serie è convergente in egual grado. Giacché escludendo dal paral- 

 lelogrammo fondamentale con aree piccole a piacere il punto = 0, e i 

 punti Un, nell'area restante i moduli delle funzioni p{u) e — m„) — ^(m) 

 avranno valori sempre finiti che ammetteranno dei limiti superiori finiti, 

 e anzi col variare di n il modulo della seconda di queste quantità può ren- 

 dersi piccolo a piacere. Se sono rispettivamente A, B tali limiti superiori 

 i moduli dei termini della serie 



sono rispettivamente maggiori di quelli della serie data; ora questa serie è 

 convergente assolutamente perchè il 



n il i 



tende a zero per n -— oo , giacché jK'^^n) tende ad oo , e B tende anch' esso 

 a zero per n = oo . 



Se le Un dipendessero da due indici p. e. m, n la serie proposta sa- 

 rebbe allora ima serie doppia, e si potrebbe ripetere lo stesso ragionamento 

 prendendo in considerazione, anziché il radicale n^°, il radicale {mnY'°, po- 



