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tendosi dimostrare facilmente che un simile criterio opportunamente modi- 

 dificato vale anche per le serie doppie, o multiple. 



La serie proposta essendo dunque equiconvergente sarà integrabile ter- 

 mine a termine. 



Ora dico che ogni termine di quella serie può porsi sotto la seguente forma : 



^C{U - Un) - = [i{l<^ - Un) - Ì{U)\^ + P.(^0 



essendo (u) una funsione razionale intera di grado k in pfu) e p'(u). 



In effetti partiamo dalla cosiddetta formola di addizione per la fun- 

 zione C ponendola sotto la seguente forma 



^p'iu) — CiUn)piu)-\- 



PÌu)—p{M„) 



Sostituendo questo valore nella espressione precedente si vede che (u) 

 diventa : 



X ^Ì^-'{U) -\-p''-\u) p{Un) H hi^''-'(^<«)J 



Formiamo ora la differenza 



r{u) 



^u) 



— Un) — du) + Pft(M) J 



Si ha una funzione sempre finita nel parallelogrammo fondamentale 

 (escluso il punto u = 0) compresivi anche i punti Un nei quali primo e se- 

 condo termine di questa differenza diventano infiniti di primo ordine. Ab- 

 biamo dunque una funzione della specie di P; chiamandola G[{u), e inte- 

 grando si ha (essendo c una costante) 



^ V ni <y(«) 



Le funzioni 



/ G(m) du f Pft(e<) du 



sono a loro volta funzioni olomorfe nel campo ellittico ; la seconda anzi è 

 di grado finito ; ammette cioè in m = 0 un polo, e non propriamente un punto 

 di singolarità essenziale. 



Rendiconti. 1896, Vol. V, 1° Sem. 42 



