2. CostmHone della faiizione da ritenersi come generalizzano ne 

 della e di Weierstrass. 



Quando i punti-zero della funzione sono tali che k può prendersi co- 

 stante, allora il numero 2k lo chiameremo genere della funzione olomorfa 

 nel campo ellittico. 



Passiamo alla costruzione di una funzione di genere 2, da ritenersi 

 come estensione della a di Weierstrass. 



Prendiamo i punti zero della funzione nei punti 



1_ 



2 mo) -\- 2 noì 



essendo m, n interi positivi o negativi, meno la combinazione w = 0 n = Q. 

 Tali punti hanno per punto limite il punto zero, quindi, almeno da certi va- 

 lori di m, n in poi, stanno tutti compresi nel parallelogrammo fondamentale. 



Dico che con tali punti si può scegliere nelle formolo precedenti A — 1 , 

 e quindi si viene a costruire una funzione di genere 2. 



In effetti un termine della serie 



l[f(»-«„)-tw]^-gI, 



(per effetto della formola precedente, e degli sviluppi noti 



2 



l^{u^n) = — -T + Bi 



l (Umn) = — + C3 



"'mn 



dove A2 Bi C3 sono delle serie tendenti a zero per Umn tendente a zero, e 

 propriamente contengono come fattore u„in ai gradi 2, 1, 3 rispettivamente) 

 può porsi sotto la forma 



dove R, S sono delle quantità tendenti a zero per iimn tendente a zero. Il 

 denominatore diventa zero solo nei punti u = u^n, quindi in una area che 

 escluda il punto m = 0 e i punti Umn, la precedente espressione sarà sempre 

 finita e ammetterà un limite superiore A. 



Paragonando allora questi termini con quelli della serie 



