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0, più semplicemente: 



^-i{f) = aoic) tipe) -\- {x — \ ) f{x — l) -\~ - -\- f{a; — n) , 



cioè: 



È manifesta l' analogia fra il modo con cui dalla data forma si ottiene 

 questa sua inversa, ed il modo con cui da una data equazione dilFerenziale 

 lineare se ne ottiene l' aggiunta di Lagrange ; qui c' è solo da considerare 

 che, nel formare la inversa, bisogna invertire anche il senso della opera- 

 zione 6 . Tenuto conto di questo si vede che : la inversa della inversa è la 

 forma data. Ed infatti questa può scriversi: 



A(/) =ao{x) f{x) + d{a,{x~l)f{x)) + - + d'^\an-,{x—n^l) f{x))^6-f{x). 



Avendo verificato che tutte le proprietà che una data equazione diffe- 

 renziale ha rispetto alla sua aggiunta di Lagrange, trovano riscontro in pro- 

 prietà al tutto simili di una forma alle differenze rispetto alla sua inversa, 

 non mi è parsa necessaria questa nuova denominazione ed ho creduto di 

 poter chiamare le due forme A(/) , A_i(/) , aggiunte V ma dell'altra. Mi 

 è poi grato il dichiarare che debbo allo stesso prof. Pincherle l' idea di ri- 

 cercare per le forme inverse le proprietà analoghe alle aggiunte di Lagrange. 



2. Dalla definizione discende: 



a) La aggiunta della aggiunta di una forma lineare alle differenze 

 è la stessa forma data. 



b) La aggiunta della somma o della dif erema di due forme date 

 è eguale alla somma od alla differenza delle aggiunte. 



Dimostriamo inoltre che: 



c) La aggiunta del prodotto AB(/) di due forme date è eguale 

 al prodotto, fatto in ordine inverso, B_iA_i(/"), delle aggiunte ('). 



Sia infatti k{f) = ^ ar{x) B^f, B(/) =^br6'f. Avremo : A B (/) = 



= y («0 br + tti 6br-i -\ \-ar6'^ bo) S*"/ ; la inversa di questo prodotto è : 



( A B )_,(/■)-= y 6-r l{ao br -f a, dbr-i H l-ar e^bo) /•] 



= ^ {6-''ao . + Q-''a, . B-^^'b,-, -j f- B-^ar . bo) . 



= y + • ^~'^r-i H h B-'-br . B-'-ao) e-'^f, 



cioè appunto il prodotto delle due forme ^B~^ òr .B-^ f . B~^ar .B~'' f 

 aggiunte delle date. 

 Ne segue che: 



d) La aggiunta del prodotto di più forme 



AB H K (/) 



(') Prodotto AB(/') di due forme A , B , ò quella nuova forma che si ottiene ponendo 

 in A, in luogo della funzione arbitraria /, il risultato della operazione B(y) (Pincherle, 

 L'algebra delle forme alle differenze. Mem. Acc. Bologna, serie V, tomo V, pag. 91). 



