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è il prodotto 



K_,H_i .... B_iA-i (/), 



fatto in ordine inverso, delle aggiunte. 



Come applicazione di questo teorema si consideri una forma B(/') = 

 = A A_i (/) , che sia prodotto di due forme aggiunte 1' una dell'altra ; avremo : 



B_,(/) = (A_0-, A_, (/) = AA_.(/). 

 e) Cioè : Se si hanno due forme lineari alle differenze aggiunte 

 l' una dell' altra, il loro prodotto è una forma identica alla sua aggiunta. 



3 .Giovandomi ora dei risultamenti a cui sono giunto in un lavoro pubblicato 

 negli Annali di Matematica dello scorso anno, col titolo : Contributo alla teoria 

 delle forme lineari alle differenze, posso formare una funzione di due variabili 

 indipendenti che, relativamente a ciascuna di queste, considerata come fonda- 

 mentale, sia integrale della forma data e della sua aggiunta rispettivamente. 



Tale è la funzione: 

 (3) = 1)-'-- 





1, 



0,.. 



• 0, 



0, 



0 



««-2(^+2) , 



an- 



+ 1,.. 



. 0, 



0, 



0 



0, 



0, 



0,.. 



an-2{x — n , 





-^+1) , 1 



0, 



0, 



0,.. 



. an-2.{x—n), 





— n) an-i{x — n) 



come del resto può verificarsi sviluppando quel determinante secondo gli 

 elementi della ultima linea, 0 secondo quelli della prima colonna. 

 Fu ancora provato che il sistema 



(4) F(^,^), F(^+l ,^),... F(^-f-^ — 1,^) 

 è fondamentale per la forma A(/) e che il sistema: 



(5) F(^ ,x), F(^ , .r + 1) , ... ¥{s,x-[-n— 1) 



è fondamentale per la sua aggiunta. Siccome poi si può avere un accresci- 

 mento nell'ordine di quel determinante in due modi diversi, e cioè: per la 

 aggiunta successiva di una ultima linea e colonna, 0 per la successiva ag- 

 giunta di una prima linea e colonna, ciò che corrisponde nel primo caso ad 

 una variazione di ^ in Bx , nel secondo di s in 6-'^s , così potremo dire che 

 quel determinante compendia le due forme aggiunte l' una dell' altra, e si 

 vede anche bene ora perchè, nella formazione della aggiunta occorra inver- 

 tire il senso della operazione tì . 



4. Fra le qo " varietà di integrali della forma A(/) , sono specialmente 

 notevoli quelli che si possono ricavare dal sistema (4) con la sostituzione: 



ttoiz), 0, 0,... 0 0 



(Zi(^) , ao{z 1) , 0 , ... 0 0 



an-i{z), an-2{s-\-l), an-3{s-\-2),...,ai{z-\-n — 2), «o(^ + w — 1) 



