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9. È noto che, quando si conosca im sistema fondamentale di integrali 

 di una data forma alle differenze, questa può scomporsi in un prodotto di 

 forme del primo ordine ('). La formula (6) trovata nella Nota: Sui deter- 

 minanti di funzioni . . ., offre un mezzo semplice per fare quella decomposi- 

 zione. Facendo in essa k = n si trova: 



^(y . yi . - y») _ f{yi - yn) ^ P'jy , y, ... yn-i) 

 tì^iyi , ... yn) f^iyi - ^(y, ... yn) 



Ricordiamo ora che ^(y , yi ... yn) è la forma che ammette il sistema 

 yi ) ^2 — yn , e che indicheremo con A(?/), poniamo poi F(ì/i , ì/2 ... yù) = f^ii', 

 rn+\ = /'o = 1 ; avrèmo per successiva applicazione della (15): 



(16) A(y) — ^ J J-=--y. 



F F F F c F F 



Si può dunque scrivere: 



A{y) = W'^ W . . . £*"(?/). 

 con 



(17) { E«(/)-%=^±i^^^^'^/, (k = l,2...n — l) 



F n—li-t-2 ' n—li 



F dF f 



Che è appunto la formula di scomposizione cercata. In questa formula non 



è fatta nessuna ipotesi pei coefficienti della A(2/). 



Formandone la aggiunta con la regola trovata al n. 2 di questa Nota, 

 avremo 



(ti) (2) (1) 



A_,(2/) = E_i E_, ... E_,E_i. 



cioè: 



(18) k.,{y)=—j '-^^ '•'~rF — V-^ — ^- 



Si può dunque concludere: Nella decomposizione in fattori di due 

 forme aggiunte l'una dell'altra, i coefficienti sono gli stessi^ è solo itiver- 

 tito l'ordine dei fattori ed il senso della operasione 6. 



Questa condizione poi, per il ricordato teorema sulla aggiunta del pro- 

 dotto, è anche sufficiente perchè due forme scomposte in fattori del primo 

 ordine sieno aggiunte 1' una dell' altra. 



10. Suppongasi ora data una forma lineare alle differenze 



(19) P,^y)^jLj_l_J^^^LjLy 



"« "n— 1 "2 "2 



(••) Pincherle, L'algebra delle forme alle differenze, n. 11 e 12. 



