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J. D. VAN DEE WAA LS. 



pour s 2 positif la valeur de a 2 — c sera certainement positive. Donc , 



d 2 A 



pour x — 0 on a —j-^ <C 0. Pour x = 1 cette grandeur devient a 2 [a x —c) 



a \ 1 + f i i a \ n 1 + * i 

 et. comme — = -, donc 1 — 7 =^ — J , pour de 



c (n — \ y c (u — î)^ 1 



petites valeurs de e x et de grandes valeurs de n elle pourra devenir néga- 

 tive. 11 en sera ainsi dès que s i <0' 2 — H y a alors une valeur de 



cPA 



pour laquelle change de signe. Or, nous venons de voir que, 



si s 1 <^u 2 — 2n , la valeur de (p m n'est pas réelle sur toute l'étendue 

 de x = 0 à x = 1. 11 s'agit donc de savoir laquelle des deux valeurs 

 de x est plus grande, celle pour laquelle Cp'" devient imaginaire, ou 



celle pour laquelle -^-y s'annulle. C'est là une question que Ton peut 



immédiatement trancher; il suffit de substituer dans —Ap la valeur limite 



aar 



pour laquelle (p m est réel, c. à d. x g = J/^ 1 - Ou tr 



ouve alors 



c 



à 1 A |«, a 



dx 2 a* c c 



il I G 6 



OU 



^=-^V(i-%)| 7 -a-%)|- 



Comme — > 1 et a fortiori >> 1 — est encore négatif. 



c dx 



Enfin, en introduisant les valeurs trouvées on peut encore vérifier 

 que, si la valeur de la fonction Cp'" n'est pas réelle de# = 0à#=l, 

 et que par conséquent la conclusion relative au minimum négatif de cette 

 fonction ne puisse plus être considérée comme démontrée, il y a néanmoins 



encore une racine de = 0 , qui correspond à une valeur x plus 



petite que x g , et qui a donc pour <p'" la même signification que tantôt. 



La racine de — - — = 0 est déterminée par l'équation: 



Cf/X 



